Файл: Лекции_по_дисциплине.pdf

Тарова Инна Николаевна

считая, что после уменьшения массы до некоторого значения сила тяги скачком изменяется; оставим это для самостоятельных размышлений. Перед решением уравнений удобно обезразмерить переменные. Естественной характерной скоростью в данной задаче является первая космическая скорость v~7,8 км/с, при которой возможен вывод на орбиту полезного груза; характерное время - момент полной выработки горючего

где m кон - масса груза. Реально t* - две-три минуты. За характерную высоту можно взять, например, h* - ту, на которой плотность атмосферы уменьшается в 10 раз (примерно 17 км). Последняя величина может показаться несколько произвольной (впрочем, она таковой и является), но все равно удобнее измерять расстояния в данной задаче относительно величины, равной нескольким километрам, чем в метрах в системе СИ. Итак, введя безразмерные переменные после несложных преобразований получим

То, что f( ) определяется двумя формулами, связано с наличием двух этапов полета: до и после выработки топлива. Безразмерное время, разделяющее эти этапы =1; если к этому моменту безразмерная скорость V 1, то первая космическая скорость достигнута, в противном случае - нет. Параметр а управляет режимом полета; если при достижении величиной V значения, равного единице, топливо еще не все выработано (т.е. <1), можно с этого момента либо положить а=0 («выключить двигатель»), либо продолжать разгон - в зависимости от постановки задачи. Рис. 3.8 иллюстрирует влияние изменения параметра а на динамику взлета ракеты в рам-

66

Компьютерное моделирование

ках принятых выше предположений при фиксированных значениях остальных параметров.

Рис. 3.8. Зависимости V( ) и Н( ) при а=0,2, а=0,3, а=0,4 и а=0,5 (кривые на рисунках слева направо)

3.5. ДВИЖЕНИЕ НЕБЕСНЫХ ТЕЛ

Как движется Земля и другие планеты в пространстве? Что ждет комету, залетевшую из глубин космоса в Солнечную систему? Многовековая история поиска ответов на эти и другие вопросы о движении небесных тел хорошо известна; для многих людей, внесших большой вклад в науку, именно интерес к астрономии, устройству большого мира, был первым толчком к познанию.

По закону всемирного тяготения сила притяжения, действующая между двумя телами, пропорциональна их массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Если поместить начало системы координат на одном из тел (размерами тел по сравнению с расстоянием между ними будем пренебрегать), математическая запись силы, действующей на

Рис. 3.9. Выбор системы координат при решении задачи двух тел

67

Тарова Инна Николаевна

Знак «минус» в формуле (3.20) связан с тем, что гравитационная сила является силой притяжения, т.е. стремится уменьшить расстояние r между телами.

Далее мы ограничимся лишь изучением взаимного движения двух тел. При этом возникает непростой вопрос: с какой позиции (в какой системе координат) изучать это движение? Если делать это из произвольного положения - например, наблюдатель с Земли изучает взаимное движение Солнца и планеты Юпитер - задача станет для нас слишком сложной. Ограничимся лишь простейшей ситуацией: рассмотрим движение одного из тел с точки зрения наблюдателя, находящегося на втором, т.е., например, движения планеты или кометы относительно Солнца, Луны относительно Земли, пренебрегая при этом относительно небольшими силами притяжения от всех прочих небесных тел. Разумеется, мы тем самым произвели ранжирование факторов, и наши последующие действия имеют отношение к реальности лишь в меру соблюдения определенных условий.

Уравнение, описывающее движение тела m в указанной системе координат, имеет вид:

Интересующая нас орбита сильно зависит от «начальной скорости» тела m и «начального расстояния». Мы взяли эти слова в кавычки, так как при изучении движения космических тел нет столь отчетливо выделенного «начального момента», как в ранее рассмотренных ситуациях. При моделировании нам придется принять некоторое положение условно за начало, а затем изучать движение дальше. Очень часто космические тела движутся практически с постоянной скоростью по орбитам, близким к круговым. Для таких орбит легко найти элементарное соотношение между скоростью и радиусом. В этом случае сила тяготения выступает в роли центростремительной, а центростремительная сила при постоянной скорости выражается известной из начального курса физики формулой mv2/r. Таким образом,

68

Компьютерное моделирование

Заметим, что отсюда вытекает один из законов Кеплера, приведший Ньютона к открытию закона всемирного тяготения: отношение кубов радиусов орбит любых двух планет Солнечной системы равно отношению

точная формулировка дана ниже (так как реально орбиты планет не вполне круговые). Если соотношение (1.22) нарушено, то орбита не будет круговой. Выяснить, какой она будет, можно в ходе численного моделирования. Сведем (3.21) к системе четырех дифференциальных уравнений первого порядка: 3.23

В этой задаче особенно неудобно работать с размерными величинами, измеряемыми миллиардами километров, секунд и т.д. В качестве величин для обезразмеривания удобно принять характерное расстояние от Земли до Солнца р=1,496*1011 м, (так называемая, астрономическая единица), пери-

69

Тарова Инна Николаевна

Отметим замечательное обстоятельство: в безразмерных переменных уравнения вообще не содержат параметров! Единственное, что отличает разные режимы движения друг от друга - начальные условия. Можно доказать, что возможные траектории движения, описываемые уравнениями (3.24) - эллипс, парабола и гипербола.

Рис. 3.10. Иллюстрация второго закона Кеплера

Напомним законы Кеплера, рис. 3.10.

1.Всякая планета движется по эллиптической орбите с общим фокусом, в котором находится Солнце.

2.Каждая планета движется так, что ее радиус-вектор за одинаковые промежутки времени описывает равные площади; на рисунке промежутки времени движения от А1 к А2 и от BI к B2 считаются одинаковыми, а площади секторов F1A1A2 и F1B1B2 равны. Это означает, что чем ближе планета к Солнцу, тем у нее больше скорость движения по орбите.

3.Отношение кубов больших полуосей орбит двух любых планет Солнечной системы равно отношению квадратов периодов их обращения вокруг Солнца.

Уравнения (3.24) описывают движение не только планет, но и любых тел, попадающих в поле тяготения большой массы. Так, в Солнечной системе существует огромное количество комет, движущихся по чрезвычайно вытянутым эллиптическим орбитам с периодами от нескольких земных лет до нескольких миллионов земных лет. Судьбы небесных тел, не являющихся постоянными членами Солнечной системы, а залетевших в нее издалека, определяются их скоростью - если она достаточно велика, то орбита будет

70

Компьютерное моделирование

гиперболической, и, облетев Солнце, тело покинет Солнечную систему, если нет - перейдет на эллиптическую орбиту и станет частью системы; пограничная между ними орбита - параболическая.

Все эти утверждения можно проверить и детально исследовать с помощью уравнений (3.24). При этом полезно и удобно использовать одно важнейшее свойство обсуждаемой системы, которого не было у рассмотренных ранее - сохранение полной энергии движущегося тела (такое свойство называется «консервативность»). Полная энергия движущегося небесного

гаемое – кинетическая, второе - потенциальная энергия. В безразмерных переменных:

Наличие неизменного параметра в ситуации, когда изменяются Vx, Vy, X, Y, позволяет контролировать процесс решения системы дифференциальных уравнений, проверять устойчивость метода, подбирать шаг интегрирования.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие причины обусловливают особую значимость компьютерного моделирования в физике?

2.Какие аналогии проводят между реальным и компьютерным экспериментом?

3.Какая из составляющих силы сопротивления – линейная или квадратичная – будет доминировать при погружении в воду полого стального шара диаметром 2 м и с толщиной стенки 1 см при достижении им постоянной скорости?

4.Почему учет силы сопротивления среды делает школьные задачи более реалистичными? Приведите примеры.

5.Как можно отобразить результаты моделирования задачи о свободном падении?

6.В чем преимущества и недостатки моделирования с помощью составления программ и с использованием табличного процессора.

7.Как изменяется траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту, при отсутствии сопротивления среды? Как меняется эта траектория при наличии сильного сопротивления?

8.Для чего производится обезразмеривание величин?

71