Файл: М.А. Тынкевич Лабораторный практикум по курсу Численные методы анализа.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 01.06.2024

Просмотров: 67

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

Лабораторная работа 6 . Численное интегрирование

15

Варианты заданий

 

 

 

1.6

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin( x+2 )

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫( x +1 )

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

0.8

 

 

 

 

2x

 

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫tg( x+x0.5 ) e−x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 +π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

1

 

cos(2

x ) e−x dx

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 +π2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

x

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2e−x dx

 

 

 

 

 

 

 

1

 

cos( x2 +2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫x

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

ln( x+1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫x3e−x2 dx

 

 

 

 

 

∫

e−x dx

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

ln2( x+1 )

e−x dx

∫x tg( x2 +1 )dx

 

 

 

 

∫

 

 

x

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x+1

 

e

−x

dx

 

 

 

 

1 ln( x+1 )

e

−x

2

dx

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

x+1

 

 

 

sin(πx )dx

∫x tg( x2

+1 )ln( x +1 )dx

 

2

 

 

0

 

 

x

+4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x+1

 

 

 

cos(πx )dx

 

1

 

 

 

x+1

 

arctg( x )dx

∫

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

0

 

 

x

+4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

x

+4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

x2 +1

cos(πx )dx

 

 

 

x+1

cos(πx )e−x dx

∫

 

∫

 

 

 

 

2

 

 

 

2

0

 

 

x

+4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

x

+4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 arctg( x )

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

x2 +1

 

 

dx

 

 

 

 

∫

 

 

 

x +1

ln 22+−xx dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 +4

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫x ( 2 − x )e−x dx

 

 

∫x3 ( 2 − x )e x dx

0

 

 

0.9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

1

 

arctgx( x ) e−x dx

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1−x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1 arctg( x )

 

 

sin( πx )

 

 

∫x ( 2 + x )e

dx

 

e

dx

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

Лабораторная работа 6 . Численное интегрирование

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫xx

 

 

 

 

xdx

 

 

 

∫dx

cos x( 1+cos x )

 

0

 

 

 

1+x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫x tg( x2 +1 )dx

 

 

 

 

 

 

∫dx 1+ln( x )

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫e−x

 

 

 

−xdx

 

 

 

 

 

∫e−x

 

−xdx

 

 

0

 

 

 

 

1+e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1+e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫dx x( 1+ln( x ))

∫e−x x( 1+ln2( x ))dx

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

x+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

−x x( 1+ln( x ))dx

 

 

∫

 

 

 

 

dx

 

∫e

 

 

 

x2 +

4

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5 arcsin( x )+1

dx

0.5

arcsin( x )

e−x dx

∫

 

 

 

 

 

 

1−x2

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

1−x2

 

0

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin( x )

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

dx

 

 

 

∫e−x

1+sin( x )dx

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

1−x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

e−x

 

 

 

 

 

−xdx

0.5

 

sin( x )

e−( 1+x )dx

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

1+e

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

1−x2

 

 

 

 

0.5

 

x− 1−x2

 

 

dx

0.6

 

x x tg( x

2 +1 )dx

 

∫

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

x+

1−x2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

arcsin( x )

 

dx

2π

sin( x ) e−x

 

−xdx

 

∫

 

 

∫

 

 

 

 

1+e

0

 

 

 

 

1−x2

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.5

 

sin( x ) e−( 1+x )2 dx

∫cos( 9 arccos x )dx

∫

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

1−x2

 

 

 

 

1

 

2x

ln( 1+2x )

 

 

0.5

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

∫ e1+x

 

 

 

cos(7 arccos x )dx

 

 

 

 

 

1+2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0.75 sin2( x )

 

−( 1+x )dx

∫ln( x )dx x( 1+ln2( x ))

∫

 

 

 

 

 

1−x2

e

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

x

ln( 1+3

x

)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫

 

 

 

 

 

dx

 

 

∫x x tg( x x )dx

 

 

 

 

 

1+3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторная работа 6 . Численное интегрирование

17

29

3

2

 

1

x

x

ln( 1+x

x

)

dx

 

∫

arcsin( x ) dx

∫

 

 

 

 

 

 

1+x

x

 

 

 

0

 

1−x2

0

 

 

 

 

 

 

30

0.5

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

∫cos( 13 arccos x )dx

∫x x ln( 1 + x x )dx

 

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

Лабораторная работа 7

Поиск собственных значений и векторов

Задание 1. Выберите матрицу 3-го порядка, приведенную в задании 3.

Задание 2. Постройте характеристическое уравнение AX=λX; известными вам методами найдите его решения и постройте соответствующие собственные векторы.

Задание 3. Для выбранной матрицы найдите максимальное по модулю собственное число и соответствующий собственный вектор степенным методом (в случае симметрических матриц - методом скалярных произведений). При выборе начального приближения результатами задания 2 не пользоваться. Можете ограничиться 1%- ой точностью (покажите результаты первых 10 итераций).

Задание 4. Выполните построение характеристического многочлена в среде MatLab с помощью функции poly(A), найдите его корни обращением к функции roots(P) и постройте соответствующие собственные векторы.

Задание 5. Найдите решение задачи посредством функции поиска собственных чисел и векторов [X,λ] =eig(A).

Задание 6. Ознакомьтесь со специальным средством MatLab для решения полной проблемы собственных значений, состоящей в по-

иске значений параметра λ, при которых существуют ненулевые решения системы уравнений

(A0+λA1+λ2A2+...+λpAp) X=0,

где A0, A1, A2, ... Ap – n-мерные квадратные матрицы: [X, λ]=polyeig(A0, A1, A2, ... Ap) ,

где λ - вектор собственных значений (n×p), X- матрица собственных векторов размерности n× (n×p). При р=0 polyeig(A )≡ eig(A), при n=1 - polyeig(A0, A1, A2, ... Ap) ≡ roots(Ap, Ap-1,... A0). Например,

18

Лабораторная работа 7. Поиск собственных значений и векторов

a =

1

2

[r,d]=polyeig(a)

r =

0. 6324

-

d =

-1.4494

 

3

1

 

 

0.7745

 

 

3.4494

 

 

 

 

 

0.6324

0.7745

 

 

Решите задачу при р=1, где А0 – выбранная матрица и A1 - единичная. Проверьте правильность полученных решений..

Лабораторная работа 8

Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Задание 1. Рассмотрите задачу, состоящую в поиске решения

обыкновенного дифференциального уравнения dydt

= f ( t, y ) для t от

t0 до tk с шагом ∆t при начальном условии y(t0)=y0 (задачу Коши). Выясните возможность аналитического решения задачи.

Задание 2. Для выбранной задачи выполните решение модифицированным методом Эйлера

y

n+

1

= yn + ∆t f ( tn , yn )

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

yn+1

= yn + ∆t f ( t

n+

1

, y

n+

1

), n = 0,1, 2,...

 

 

 

 

2

 

2

 

и методом Рунге-Кутты

y

n+1

= y

n

+

1

[ k

1

+ 2 k

2

+ 2 k

3

+ k

4

],

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

1

= ∆t f ( t

n

, y

n

),

 

 

 

 

 

k

2

= ∆t f ( t

n

+ ∆t

,∆, y

n

+

k1

),

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

k

3

= ∆t f ( t

n

+ ∆t , y

n

+

k2

), k

4

= ∆t f ( t

n

+ ∆t, y

n

+ k

3

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с фиксированным шагом ∆t (значение ∆t возьмите равным десятой доле интервала интегрирования) .

Задание 3. Любым из вышеуказанных методов найдите решение с заданной точностью в системе двойного просчета и сопоставьте с полученным в задании 2.

Задание 4. Выполните решение задачи в среде MatLab стандартными средствами (например, функцией odu45); нарисуйте график найденного решения.

Задание 5. Рассмотрите задачу выравнивания цен по уровню актива в следующей постановке[2,4].

Предположим, что изменение уровня актива у пропорционально разности между предложением s и спросом р, т.е. y’=k(s-d), k>0, и

Лабораторная работа 8. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений 19

что изменение цены z пропорционально отклонению актива у от некоторого уровня y0, т.е. z’=-m(y-y0), m>0. Естественно, что предложение и спрос зависят от цены, например, s(z)=az+s0, d(z)= d0 - cz. Соответственно возникает система дифференциальных уравнений

y’ = k (s(z)-d(z))

z’ = - m (y-y0) ,

относящаяся к т.н. автономным (или динамическим), ибо независимая переменная в систему явно не входит; линия y=y(t), z=z(t) определяет фазовую кривую (траекторию) системы в параметрическом задании (гладкую кривую без самопересечений, замкнутую кривую или точку), которая позволяет судить об устойчивости системы.

Пример. Вычисление правых частей оформляем функцией:

function f=odu2(t,X)

 

y=X(1);

z=X(2);

d0=50; k=0.3; m=0.1;

a=20; c=10; s0=10;

s=a*z+s0; d= d0-c*z;

y0=19;

f(1)=k*(s-d) ; f(2)=-m*(y-y0); f=f';

Если выполнить решение при y0= 19, z0=2

» [T,Y]=ode45('odu2', [0:0.3:9],[19 2]);

»[T Y]

»plot(T,Y)

будет выведена таблица значений искомых функций

ans =

0 19.00000000000000 2.00000000000000

0.30000000000000 20.77579841500000 1.97318165951000

0.60000000000000 22.41015259082511 1.89494628346288

0.90000000000000 23.76867894580835 1.77145673174048

1.20000000000000 24.74271295061668 1.61260089471649

1.50000000000000 25.25696216194586 1.43132879958977

...

и их графики (рис. 1).

Если же предварительно установить опции построения двумерного фа-

зового портрета (функция odephas2) и номера соответствующих переменных состояния

»opt=odeset('OutputSel',[1 2], 'OutputFcn','odephas2');

»[T,Y]=ode45('odu2', [0:0.3:9],[19 2],opt);

то будет выведен фазовый портрет системы, свидетельствующий о ее устойчивости – гармонии между активом и ценами (рис.2).

Выясните, как сказывается на решении соотношение между d0 и s0.

Смотрите также файлы