Файл: М.А. Тынкевич Система Matlab Справочное пособие к курсу Численные методы анализа.pdf

16

Отметим также и некоторые полезные конструкции: cross(X,Y) – векторное произведение (X,Y-трехмерные векторы):

X×Y= [ (X2Y3-X3Y2), (X3Y1-X1Y3), (X1Y2-X2Y1)] ; kron(X,Y) – тензорное произведение (произведение Кронекера):

X11Y X12Y ... X1nY

X21Y X22Y ... X2nY... ... ... ...

Xm1Y Xm2Y ... XmnY

meshgrid(X,Y), meshgrid(X,Y,Z) –формирование двумерной

(трехмерной) сетки (обычно используется при реализации графики): [x,y]=meshgrid(-2:0.1:2, -10:0.5:10)

Ряд других функций, связанных с обработкой массивов, рассмотрен ниже.

5. Решение основных задач линейной алгебры

При реализации многих задач, связанных с матричной алгеброй, полезными могут оказаться функции для оценок основных характеристик:

det(A) – определитель квадратной матрицы; rank(A) – ранг матрицы;

trace(A) – след матрицы (сумма элементов главной диагонали);

Выше среди операций системы мы уже упоминали операцию

транспонирования матрицы :

и возведения в степень (матричного умножения на себя или инверсии):

17

При решении многих задач (например, при оценке сходимости методов) используется понятие нормы вектора (матрицы). В рассматриваемой системе для поиска нормы предлагается функции norm(A) и norm(A, k) .

Если А – вектор, то норма определяется (по умолчанию k=2)

A = k ∑k Ai k ; i=1

при k=inf и k=-inf соответственно ║A║= max(|Ai|) и ║A║= min(|Ai|);

Если А – матрица, то норма определяется только для k=1, 2, inf и fro (по умолчанию k=2):

k=2 - A =max(svd(A)) - максимальное из сингулярных чисел

матрицы (значений квадратных корней из собственных чисел матрицы А′А);

Для задачи решения системы линейных алгебраических урав-

нений, одной из популярнейших в вычислительной математике, предусмотрены даже “элементарные” операции для подобной задачи.

Так для решения системы AX=B (A –матрица коэффициентов размерности m×n, B- матрица правых частей размерности n×k, Х – матрица из k векторов-столбцов решений) можно использовать команду обратного деления “\”. Например, для решения системы

x1+2 x2+3 x3 = 3 (или 3) 5 x1+4 x2+3 x3 = 9 (или 9) 3 x1+4 x2+3 x3 = 6 (или 7)

задаем (построчно) матрицу коэффициентов и векторов правой части

(обратите внимание на строчное представление решений).

Под кажущейся простотой решения скрывается достаточно серьезный анализ структуры матрицы и использование лучшего по точности и быстродействию алгоритма (метод Гаусса, разложение Холецкого и др.)

Для прямоугольной матрицы А (m≠n) решение строится по минимуму квадрата ошибки (используется QR-разложение на основе преобразований Хаусхолдера) и не сопровождается сообщениями о множественности решений или переопределенности системы:

Естественно, что квадратная матрица коэффициентов должна быть невырожденной (определитель отличен от нуля) и в противном случае выдается сообщение Matrix is singular to working precision и

элементы решения принимают значения inf (не определено). Особого упоминания заслуживает обращение (инверсия)

матрицы, для которого предусмотрена операция возведения в степень –1 и функция inv(A):

Напомним, что обращение матрицы может оказаться полезным при решении системы AX=B в виде X=A-1B:

19

При решении линейных систем и других задач интересно представление матрицы разложением на матрицы упрощенной структуры.

[L,U]=lu(A) – дает т.н. LU-разложение произвольной квадрат-

ной матицы в виде произведения нижней и верхней треугольных мат-

риц A=LU (в матрице L возможны перестановки); такое представление позволяет, в частности, решение системы АХ=В свести к двум простым системам LZ=B, UX=Z .

[L,U,P]=lu(A) – дает LU-разложение c выводом матрицы перестановок Р такой, что PA=LU.

R=chol(A), [R,p] =chol(A) - дает разложение Холецкого для положительно определенной симметрической матрицы A=R′R, где R – верхняя треугольная матрица. Если матрица А не является положительно определенной, то в первом варианте возникает сообщение об ошибке и во втором R – матрица порядка q=p-1:

В приведенном примере лишь первые два главных минора положительны (det(С)= -3) и, соответственно, q=2 и R′R дает второй главный минор матрицы С.

[Q,R]=qr(A), [Q,R,P]=qr(A), [Q,R]=qr(A,0) находит QR-

разложение для прямоугольной матрицы размерности m×n: [Q,R]=qr(A) – в виде A=QR произведения унитарной матрицы Q

(Q*Q'=E) и верхней треугольной матрицы R :