Файл: М.А. Тынкевич Система Matlab Справочное пособие к курсу Численные методы анализа.pdf

25

wilkinson(n) - матрица Уилкинсона (трехдиагональная симметрическая матрица n-го порядка, служащая тестом для алгоритмов решения проблемы собственных значений ; обычно берут n=21, где возникают кратные и близкие значения);

vander(X) – матрица Вандермонда (размерность совпадает с числом n элементов вектора Х Vij=xin-j):

Ряд тестовых матриц упакован в специальный подкаталог, вызываемый командой :

[<выходные параметры>]= gallery(‘имя матрицы’, <входные параметры>)

К их числу относятся -

cauchy(X,Y), cauchy(X) – матрица Коши с элементами Cij=1/(xi+yj): при монотонно возрастающих последовательностях Х и Y матрица положительно определенная;

circul(Х) – циркулянтная матрица, получается из вектора Х построчно циклической перестановкой его элементов; если X скаляр, то берется вектор [1:X]; ее собственное значение равно скалярному произведениюХ и вектора [1 t t2 ... tn-1 ] , где t – корень n-й степени из –1:

clement(n,sym) – трехдиагональная n-мерная матрица Клемента с нулями на главной диагонали с собственными значениями из последовательности [n1, n-3 ,n-5...] c плюсом и минусом (при нечетном n добавляется 0 или 1); sym=1 определяет симметричность матрицы:

26

Кроме упомянутых в подкаталог входят еще свыше 40 тестовых матриц, связанных с проблемой собственных значений, обращением, полиномами Чебышева и др.

8. Анализ и обработка данных

8.1. Обработка статистических данных

Никакой анализ статистических данных не может обойтись без предварительной их обработки:

max (A) , min(A) – поиск экстремальных элементов по столбцам массива А;

max(A,B) , min(A,B) – формирование массива с элементами, равными экстремальным из соответствующих элементов массивов;

max(A,[],dim) , min(A,[],dim) – вектор экстремальных элемен-

тов по измерению dim;

[C,I]=max(...) , [C,I]=min(...) - дополнительно выводится строка индексов экстремальных элементов;

median(X) , median (X,dim) – медианы массива; mean(X) , mean (X,dim) –средние значения;

std(X) , std(X,flag) , std(X,flag,dim) – стандартное отклонение

(flag=0 –несмещенная оценка σ ; flag=1 – смещенная оценка s):

cov(X, Y) , cov(X,Y, flag) – ковариация для для массивов Х и Y (каждый столбец – переменная, строка – наблюдение)

covij ( X ,Y ) = 1f XiTYj , f=n или n-1;

cov(X) , cov(X,flag) – ковариация для столбцов массива Х ; corrcoef (X) , corrcoef (X,Y) –коэффициенты корреляции:

8.2. Численное дифференцирование

Как известно, численное дифференцирование строится на использовании аппарата конечных разностей и соответствующего многообразия аппроксимаций. Здесь полезны функции:

diff(X), diff(X, n), diff(X, n, dim) – вычисление конечных раз-

ностей (первых, n-го порядка или по указанному измерению); если Х

29

меняться монотонно и заданы в формате функции meshgrid.

interp3(X1,X2,X3,Y,Z1,Z2,Z3), interp3(..., ’method’) – трехмер-

ная табличная интерполяция Y=Y(X1,X2,X3); interpn(X1,X2,...,Y,Z1,Z2,...), interp3(..., ’method’) – многомер-

ная табличная интерполяция Y=Y(X1,X2,...); griddata(X1,X2,Y,Z1,Z2), griddata(X1,X2,Y,Z1,Z2, ’method’) -

двумерная табличная интерполяция на неравномерной сетке.

8.4. Численное интегрирование

polyarea (X,Y), polyarea (X,Y, dim) -площадь многоугольника с координатами вершин (X,Y):

» polyarea ([1 2 3 4 5],[0 3 6 3 0]) ans = 12

trapz(X,Y), trapz(X,Y, dim) – вычисление интеграла по формуле трапеций ; функции cumtrapz(X,Y), cumtrapz(X,Y, dim) вычисляют к тому же промежуточные результаты;

quad(‘имя’, a,b), quad(‘имя’, a,b, eps), quad(‘имя’, a,b, eps, trace), quad(‘имя’, a,b, eps, trace,P1,P2,...), quad8(...) - вычисление определенного интеграла: a,b – пределы интегрирования; eps – относительная погрешность (по умолчанию 10-3); trace –построение точечного графика функции; ‘имя’ – имя подинтегральной функции (встроенной или М-файла); P1,P2,... – передаваемые параметры функции; quad использует квадратуру Симпсона, quad8 – НьютонаКотеса 8-го порядка). Используется рекурсия до глубины 10 и может появиться сообщение – подозрение о сингулярности функции (наличии особенностей).