Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №5, 6 и методические указания для студентов 2 курса (3 семестр) заочной формы обучения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 350
Скачиваний: 0
6
В пункте в приведены интегралы от дробнорациональных функций, метод интегрирования которых приведён в литературе [1,
гл. YII, с. 303-311; 7, гл. IX, с. 235-245].
Пример. Найти ∫ |
x2 − |
2 |
dx . |
|||
x |
3 |
− 4x |
2 |
+ 3x |
||
Подынтегральная функция является правильной дробно - рациональной функцией, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Для разложения её в сумму простейших дробей найдём корни знаменателя x3 − 4x2 + 3x = x(x2 − 4x + 3)= 0. Тогда x = 0,x =1,x = 3 . Так как корни действительные и различные числа, разложение имеет
вид |
x2 − 2 |
= |
A |
+ |
B |
+ |
C |
. Для нахождения неопределённых |
||
x3 − 4x2 + 3x |
x − |
1 |
x − |
3 |
||||||
x |
||||||||||
коэффициентов A,B,C приводим к общему знаменателю выражение в правой части и приравниваем числители
x2 − 2 = A(x −1)(x − 3)+ Bx(x − 3)+ Cx(x −1).
Подставляя в это равенство корень x = 0, получаем − 2 = 3A A = −23 .
При |
x =1, |
получаем |
−1 = −2B B = 1 . |
При |
x = 3 , |
получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 = 6C C = 7 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
. Заменяя подынтегральное выражение, получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6 |
2 |
1 |
7 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
− 2 |
dx |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
2 |
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∫ |
dx = ∫ |
+ |
+ |
dx = −2 ∫dx |
+ 1 ∫ |
+ 7 ∫ |
= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
2 |
x |
x −1 |
x − |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
− 4x |
+ 3x |
3 |
3 x 2 x −1 6 x − |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= − |
2 |
∫ |
dx |
+ |
1 |
∫ |
d(x −1) |
+ |
7 |
∫d(x − 3) |
= − |
2 ln x + |
1 ln x −1 + |
7 ln x − 3 + C = |
||||||||||||||||||||||||||||
3 x 2 x −1 |
6 x − 3 |
3 |
2 |
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= ln |
x −1 6 (x − 3)7 |
+ C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для нахождения площадей плоских фигур и объёмов тел вращения в задачах № 31-60 рекомендуется изучить литературу [1, гл.8, с. 340-344, 347; 3, гл.6, с. 340-346; 4, гл.12, с. 416-418,426; 6, гл.5, с. 189,199; 7, гл.10, с. 269-271].
7
При вычислении интегралов в этих задачах и в дальнейшем можно пользоваться таблицей интегралов в справочниках [10, с. 841-851; 11,
с. 114-156].
Пример. Найти площади частей, на которые круг x2 + y2 = 12 делится параболой y = x2 .
Сделаем схематический чертёж ( рис.1) и найдём точки пересечения этих линий
2 |
+ y |
2 |
= 12 |
2 |
= 12 − y |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
x |
12 |
− y2 = y |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = x |
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
y2 + y − 12 = 0 y = − 1 ± 1 + 48 = − 1 ± 7 , y = 3. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
В |
точке |
пересечения |
x2 = 3 x1 = − |
3, x2 = |
. |
Площадь |
меньшей |
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
части |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
x |
x |
3 |
x3 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
S1 = |
∫ |
12 − x2 dx − |
∫ x2dx = |
12 − x2 + 6 arcsin |
− |
= |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
12 |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
− |
3 |
− 3 |
− |
3 |
− |
3 |
||||||||||||||||||||||||||||
= |
3 |
12 − 3 + 6 arcsin |
3 |
− |
− |
3 |
12 |
− 3 |
− 6 arcsin |
3 |
− |
|||||||||||||||||||||||
2 |
12 |
2 |
12 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
− |
3 |
3 |
− |
− 3 |
3 |
π |
− 2 3 = 3 + 2π. |
|||||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
= 3 3 + 12 |
6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
y |
y = x2 |
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||
y = x
x
x
x2 + y2 =12
Рис.1 |
Рис.2 |
При вычислении интеграла ∫ 12 − x2 dx мы воспользовались справочни-
ком [10] (интеграл № 51) или [11] ( интеграл № 157).
Площадь большей части S2 = πr2 −S1 = π 12 − 3 − 2π =10π − 3 .
8
Пример. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x sinx, 0 ≤ x ≤ π .
Сделаем схематический чертёж ( рис.2) и найдём точки пересечения
этих линий y = x |
x − x sinx = |
y = x |
sinx |
π |
0, x1 = 0, 1 − sinx = 0, sinx = 1, x2 = π2 .
π
b |
b |
|||||||||
V = V1 − V2 = π∫y12dx − π∫y22dx = π∫2 x2dx − π∫2 x2 sin xdx = |
||||||||||
a |
a |
0 |
0 |
|||||||
3 |
π |
3 |
||||||||
x |
2 |
π |
||||||||
= π |
− 2xsin x + (x2 |
− 2)cosx |
= π |
− π + 2 |
, |
|||||
3 |
24 |
|||||||||
0 |
||||||||||
∫x2 sin xdx = 2xsin x −(x2 − 2)cosx. |
||||||||||
При нахождении длины дуги в задачах № 61-90 следует помнить, что дифференциал длины дуги выражается различными формулами [1,
гл.8, с. 347-352; 4, гл.12, с. 432-436; 7, гл.10, с.270].
1. ds = 1 + (y′x )2 dx , если линия задана в декартовых координатах;
2. ds = (x′t )2 + (y′t )2 dt , если линия задана параметрически
x = x(t), y = y(t);
3. ds = r2 + (r′(θ))2 dθ, если линия задана в полярных координатах
r = r(θ).
Пример. Найти длину дуги кривой r = cos2 θ |
, |
0 ≤ θ ≤ |
π . |
|||||||||||||||||||||
θ |
2 |
θ |
1 |
2 |
||||||||||||||||||||
Вычисляем ds = r2 |
+ (r′(θ)) |
2 |
dθ, rθ′ |
= 2cos |
. |
|||||||||||||||||||
2 |
− sin |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
r2 + (r′(θ)) |
2 |
= cos4 |
θ |
+ cos2 |
θ |
sin2 |
θ |
= cos2 |
θ |
θ |
+ sin2 |
θ |
= cos2 |
θ |
, |
|||||||||
2 |
2 |
2 |
2 |
cos2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||
ds = cos2 θ2dθ = cos θ2 dθ,
ππ
2 |
θ |
dθ = 2sin |
θ |
2 |
π |
= 2 |
2 |
= 2 . |
|||
S = ∫cos |
= 2 sin |
− sin0 |
|||||||||
0 |
2 |
2 |
0 |
4 |
2 |
||||||
9
При решении задач № 91-120 необходимо изучить криволинейные интегралы второго рода (по координатам) и научиться их вычислять в зависимости от задания пути интегрирования [2, с. 82-89; 3, с. 472-479; 5, с.217-226].
r |
Пример. |
r |
Вычислить |
работу, |
совершаемую |
силой |
||
r |
при перемещении некоторой массы по дуге |
|||||||
F = (x2 |
− 2xy)i + (y2 − 2xy)j |
|||||||
параболы y = x2 |
от точки A(1,1) до точки B(-1,1). |
|||||||
Составляем криволинейный интегралA = |
∫ (x2 − 2xy)dx + (y2 − 2xy)dy . |
|||||||
Так как y = x2 , то y′ = 2x, |
AB |
|||||||
dy = 2xdx , и при движении массы из точки A |
||||||||
в точку B x принимает значения от 1 до -1, которые и будут пределами интегрирования по одной переменной x . Следовательно, имеем
A = |
∫ (x |
2 |
− 2xy)dx |
+ (y |
2 |
− 2xy)dy |
1 |
2 |
− 2x |
3 |
2 |
) |
2 |
− 2x x |
2 |
|||||||||||||||||||||
= ∫ |
(x |
)+ (x |
2x dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
AB |
−1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
3 |
2x |
4 |
2x |
6 |
4x |
5 |
1 |
14 |
|||||||||||||||||||||||||||
= |
∫ |
(x2 − 2x3 + 2x |
5 |
− 4x |
4 )dx = |
x |
− |
+ |
− |
= |
. |
|||||||||||||||||||||||||
6 |
5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
−1 |
3 |
4 |
− |
1 |
15 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
r |
Пример. Вычислить работу, |
совершаемую |
переменной силой |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
r |
при перемещении некоторой массы по дуге кривой, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
F = −y2x |
i + x2y j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной параметрически x = |
cost, |
y = |
sin t , от точки A до точки B с |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
соответствующими значениями параметра t1 = 0, t2 |
= π . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Составляем |
криволинейный |
интеграл |
A = |
∫ (− xy2 )dx + x2ydy и |
||||||||||||||||||||||||||||||||
AB
сводим его к определённому интегралу по t . Для этого находим дифференциалы
dx = d( |
cost)= |
− sin t |
sin t)= |
cost |
2 cost dt, dy = d( |
2 sin t dt . |
|||
После подстановки вместо x, y,dx,dy |
их выражений через t |
|||
криволинейный интеграл превращается в определённый интеграл по переменной t , то есть
π |
(− sin t) |
|||||||
2 |
− sin t |
cos t |
+ cost |
sin t |
cost |
|||
A = ∫ |
2 cost |
dt = |
||||||
0 |
2 |
sin t |
||||||