Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №5, 6 и методические указания для студентов 2 курса (3 семестр) заочной формы обучения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 356
Скачиваний: 0
15
Таблица 4 |
||
Частное решение неоднородного уравнения |
||
Вид правой части неоднородного |
Вид частного решения |
|
дифференциального уравнения |
||
f (x)= eax Pn (x), Pn (x)- многочлен |
y = xr eax Qn (x), где |
|
степени n |
0, еслиa неявляетсякорнем |
|
характерист. уравнения |
||
1,еслиa равноодномукорню |
||
r = |
характерист. уравнения |
|
2,еслиоба корняхарактерист. |
||
уравненияравныa |
||
Qn (x)- многочлен степени n с не- |
||
определёнными коэффициентами |
||
f (x)= eax (Pn (x)cosbx + Qm (x)sinbx), |
y = xr eax (SN (x)cosbx + ZN (x)sinbx) |
|
Pn (x)- многочлен степени n , |
0, еслиa + bi неявляетсякорнем |
|
Qm (x)- многочлен степени m |
характерист. уравнения |
|
r = |
||
1,еслиa + bi равноодномукорню |
||
характерист. уравнения |
||
N равно наибольшей из степеней |
||
n и m |
||
Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения
y′′ + 8y′ + 16y = 2xe−4x ,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)= 1, y′(0)= 2.
Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде y = y0 + Y , где y0 - общее решение однородного уравнения
y′′ + 8y′ + 16y = 0 ,
которое определяется по табл. 3, а Y - частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.
Для определения y0 составим характеристическое уравнение
k2 + 8k + 16 = 0 .
Его корни k1 = k2 = −4 . Следовательно, y0 = e−4x (c1 + c2x) .
16
Так как правая часть уравнения f (x) = 2xe−4x , то Y = x2 e−4x (Ax + B).
Здесь a = −4, Pn (x)= 2x, r = 2 .
Y = e−4x (Ax3 + Bx2 ).
Y′ = −4e−4x (Ax3 + Bx2 )+ e−4x (3Ax2 + 2Bx)= = e−4x (− 4Ax3 + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx).
Y′′ = −4e−4x (− 4Ax3 + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx)+ e−4x (12Ax2 + 2x(− 4B + 3A)+ + 2B) = e−4x (16Ax3 + x2 (16B − 24A)+ x(− 16B + 6A)+ 2B).
Подставив эти значения в наше уравнение, получим
e−4x (16Ax3 + x2 (16B − 24A)+ x(− 16B + 6A)+ 2B)+ 8e−4x (−4Ax3 + + x2 (− 4B + 3A)+ 2Bx) + 16e−4x (Ax3 + Bx2 )= 2xe−4x .
Сократим на e−4x и сгруппируем члены с x3 , x2 , x, x0 :
x3 (16A − 32A +16A)+ x2 (16B − 24A − 32B + 24A +16B)+ |
|
+ x(−16B + 6A +16B)+ 2B = 2x |
|
или |
6Ax + 2B = 2x . |
Приравниваем коэффициенты многочленов, стоящих в левой и правой части равенства, при одинаковых степенях x . Получаем систему уравнений для определения A, B .
6A = 2, |
1 |
||||||
A = |
, |
||||||
3 |
|||||||
2B |
= 0. |
||||||
B = 0. |
|||||||
Итак, Y = e−4x 13 x3 .
Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
y = e−4x (c1 + c2x)+ e−4x 13x3 , отсюда
y′ = −4e−4x (c1 + c2x)+ e−4x c2 − 4e−4x 13x3 + e−
Подставляя в эти выражения начальные условия найдём c1 , c2 .
1 = c1 , |
c1 = 1, |
|||||
2 |
= −4c1 |
+ c2 . |
= 6. |
|||
c2 |
||||||
4x x2 .
x = 0, y = 1, y′ = 2 ,
Итак, искомое решение имеет вид
17
y = e−4x (1 + 6x)+ e−4x 13x3 .
Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения
y′′ + 6y′ + 13y = 4sin5x ,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)= 0,235; y′(0)= 0 .
Решение. Общее решение неоднородного уравнения можно записать в виде y = y0 + Y , где y0 - общее решение однородного уравнения
y′′ + 6y′ + 13y = 0 ,
которое определяется по табл. 3, а Y - частное решение неоднородного уравнения, которое определяется по табл. 4.
Для определения y0 составим характеристическое уравнение
k2 + 6k + 13 = 0 . |
|||||||||
Его корни k1,2 |
= − 6 ± 36 − 52 = − 6 ± |
− 16 = |
− 6 ± 4i |
= −3 ± |
2i . |
||||
2 |
2 |
2 |
|||||||
Согласно табл. 3 α = −3, β = 2 , то есть |
|||||||||
y0 = e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x). |
|||||||||
Для определения Y используем табл. |
4. Так как f (x)= 4sin5x , то |
||||||||
a = 0, b = 5, P0 (x)= 0, Q0 (x)= 4, r = 0 . Следовательно: |
|||||||||
Y = A cos5x + B sin5x . |
|||||||||
Для определения A, B подставим Y в первоначальное уравнение: |
|||||||||
Y′ = −5A sin5x + 5B cos5x , |
|||||||||
Y′′ = −25A cos5x − 25B sin5x . |
|||||||||
Тогда уравнение примет вид |
( |
) |
|||||||
− |
25A cos5x − |
25B sin5x + 6 |
− 5A sin5x + 5Bcos5x |
+ |
|||||
+ |
( |
) |
= 4sin5x. |
||||||
13 A cos5x + B sin5x |
|||||||||
Приравнивая коэффициенты при cos5x и sin5x в левой и правой части этого уравнения, получаем систему
− 12A + 30B |
= 0, |
A = |
30 |
B = |
5 |
B, |
− 30 |
5 |
B − 12B = 4, B = −0,115, |
|
= 4. |
12 |
2 |
2 |
|||||||
− 30A − 12B |
A = 52 (− 0,115)= −0,046. Y = −0,115cos5x − 0,046sin5x .
Общее решение нашего уравнения имеет вид
y = e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)− 0,115cos5x − 0,046sin5x .
Отсюда
18
y′ = −3e−3x (c1 cos2x + c2 sin 2x)+ e−3x (− 2c1 sin 2x + 2c2 cos2x)+
+ 0,575sin5x − 0,23cos5x. |
|||
Найдём из начальных условий y(0)= 0,235; |
y′(0)= 0 постоянные c1 , c2 . |
||
0,235 = c1 − 0,115, |
c1 = 0,35, |
||
− 0,23. |
|||
0 = −3c1 + 2c2 |
c2 = 0,64. |
||
Итак, искомое решение имеет вид
y = e−3x (0,35cos 2x + 0,64sin 2x)− 0,115cos5x − 0,046sin5x.
При решении задач № 91-120 рекомендуется изучить литературу
[1, с. 107-109, 111-113; 3, с. 191-193, 199; 4, с. 561-563, 585-587; 5,
с. 411-420]. Наибольшую трудность представляет составление дифференциальных уравнений, описывающих данную линию.
Задачи решаются с использованием геометрического смысла производной y′ = tgα , где α - угол наклона касательной к оси OX.
Пусть M(x,y) - точка касания, принадлежащая искомой кривой
(рис.3,4,5). OA=x, AM=y, CM - касательная к кривой
y |
|||||||||||||||||||
y |
M(x,y |
y |
M(x, y |
||||||||||||||||
B |
|||||||||||||||||||
K |
K |
M(x,y) |
|||||||||||||||||
K |
|||||||||||||||||||
B |
|||||||||||||||||||
α |
|||||||||||||||||||
α |
O |
α |
|||||||||||||||||
C |
O |
A |
x |
B |
C |
A |
x |
O |
A |
C |
x |
Рис.3 |
Рис.4 |
AM |
Рис.5 |
||||||||||||
= tg(π − α)= −tgα, |
|||||||||||||||
tgα = AM , AC = AM = |
y |
AC = |
y |
, |
|||||||||||
AC |
|||||||||||||||
AC |
tgα |
y′ |
y′ |
y |
|||||||||||
y |
y |
AC = − |
|||||||||||||
OC = AC − x = |
− x, |
OC = x − AC = x − |
, |
, |
|||||||||||
y′ |
|||||||||||||||
y′ |
|||||||||||||||
y′ |
y |
||||||||||||||
OB = tgα = y′, |
OB |
= tgα = y′, |
OC = x + AC = x − |
, |
|||||||||||
y′ |
|||||||||||||||
OC |
OC |
OB |
|||||||||||||
OB = OC y′ = y − xy′. |
OB = xy′ − y . |
= −y′, OB = −xy′ + y . |
|||||||||||||
OC |
|||||||||||||||
OB - отрезок, отсекаемый касательной на оси oy . OC - отрезок, отсекаемый касательной на оси ox .
OM - радиус-вектор точки касания M, OM = x2 + y2 .
19
Пример. Кривая обладает тем свойством, что отрезок нормали, заключённый между осями координат и проведённый в любой точке кривой, делится этой точкой пополам. Записать уравнение кривой, проходящей через точку M0 (0,1).
Решение. Пусть M(x, y) - произвольная точка искомой кривой (рис. 6). CM - касательная, tgα = y′, ED - нормаль, β = π − α.
E |
y |
|||||||||||||||||||||
M(x, y) |
||||||||||||||||||||||
K |
||||||||||||||||||||||
β |
||||||||||||||||||||||
α |
||||||||||||||||||||||
O |
C |
A |
D |
x |
||||||||||||||||||
По условию EM = MD, |
Рис. 6 |
|||||||||||||||||||||
OA = AD, |
OK = KE, |
OD = 2x, |
OE = 2y, |
|||||||||||||||||||
OE = tgβ, |
2y = tg(π − α)= ctgα = |
1 |
= |
1 |
. |
|||||||||||||||||
tgα |
||||||||||||||||||||||
OD |
2x |
y′ |
||||||||||||||||||||
Получаем дифференциальное уравнение кривой: |
||||||||||||||||||||||
y = |
1 |
, |
y′ = x , |
dy |
= x |
, |
ydy = xdx, |
y2 |
= x2 |
+ c. |
||||||||||||
dx |
2 |
|||||||||||||||||||||
x |
y′ |
y |
y |
2 |
||||||||||||||||||
Найдём c из условия, что линия проходит через точку M0 (0,1). |
||||||||||||||||||||||
1 = 0 + c, |
c = |
1 . |
||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||
Уравнение искомой кривой имеет вид |
y2 |
= x2 |
+ |
1 или y2 − x2 = 1. |
||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
Контрольная работа №5
Интегральное исчисление
1-30. Вычислить неопределённые интегралы
2 |
1 |
|||||||
1. а) ∫(3x +1)3 |
dx, |
б) ∫arccosx dx, |
в) ∫ |
dx. |
||||
x3 + x2 |
+ 4x + 4 |
|||||||