Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №5, 6 и методические указания для студентов 2 курса (3 семестр) заочной формы обучения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 361

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

10

π

π

π

2

=

1

2

(sin2 t + cos2 t)dt =

1

2

1

dt =

1

t

=

π

.

2

∫

2

∫

2

4

0

0

0

Пример. Вычислить работу, совершаемую силой

r

r

− 3xy j

F = x2

i

при перемещении некоторой массы из точки A(1,2) в точку B(4,0) по прямой линии.

Напишем уравнение прямой AB, используя уравнение прямой,

проходящей через две данные точки

y − y1

=

x − x1

. Получим

y2 − y1

x2 − x1

y − 2

= x − 1,

y − 2 = x − 1, y = −

2

(x − 1)+ 2, y = −

2 x + 8

, dy = −

2 dx .

0 − 2 4 − 1

− 2

3

3

3

3

3

Искомая работа равна

4

2

8

2

2

2

A = ∫x

dx

−

3xydy = ∫ x

− 3x −

x +

−

dx

=

3

AB

1

3

3

4

x3

16x

1

x3

16

x2

4

1

(64 − 1)+

8

(16

− 1)= 33 .

= ∫

−

+

dx =

−

+

= −

3

3

3

3

3

2

9

3

1

1

Контрольная работа №6

Данная контрольная работа включает в себя задачи по теме «Дифференциальные уравнения».

В задачах № 1-30 при отыскании общего решения дифференциального уравнения первого порядка следует использовать литературу [1,

с.105-107, 110-111, 118-120; 2, с. 22-27, 30-34; 3, с. 198-203; 4, с. 568575; 5, с. 389-394].

Перед решением задач нужно определить тип уравнения и метод решения, при этом можно руководствоваться табл.1.

Пример. Найти общее решение уравнения siny′x = y .

Так как y′ = dydx , то получаем уравнение dydx = y sinx - уравнение первого типа. Разделяем переменные :

dyy = sinx dx, ∫ dyy = ∫sinxdx, ln y = −cosx + c,

11

где c - произвольная постоянная. Можно оставить решение в таком виде или выразить y в явном виде

y = e− cos x+c .

Таблица 1 Классификация дифференциальных уравнений первого порядка

Тип дифференци-

Вид уравнения

Метод решения

ального уравне-

ния первого по-

рядка

1. С разделяющи-

dy

= f1(x) f2 (y)

∫

dy

= ∫f1(x)dx

dx

f2 (y)

мися переменны-

ми

2. Однородное

dy

= f

Подстановка

y

= u, y = ux ,

y

dx

x

x

y′ = u′x + u

приводит к

уравнению первого типа

3. Линейное

dy

+ P(x)y = Q(x)

Подстановка y = u(x) v(x)

dx

приводит к уравнениям

первого типа

dy

+ P(x) v = 0,

dx

du

v = Q(x)

dx

y

Пример. Найти общее решение уравнения y′ = e

+ y .

x

x

Это уравнение второго типа, однородное, следовательно, делаем

подстановку

y

= u, y = ux, y′ = u′x + u . Уравнение примет вид

x

du x = eu ,

du

= eu .

u′x + u = eu + u,

dx

dx

x

Получили уравнение с разделяющимися переменными:

du

=

dx

,

∫

du

=

∫

dx

, − e−u

= ln

x

+ lnc .

eu

x

eu

x

12

Здесь мы обозначили произвольную постоянную не c , а lnc для удобства записи:

− e−u = ln

, u = y

− e−

y

= ln

cx

.

cx

x

x

Можно оставить решение в таком виде, а можно y выразить явно:

−

y

= −ln

cx

, e−

y

= ln

1

, − y = lnln

1

, y = −xlnln

1

.

e

x

x

cx

x

cx

cx

Пример. Найти общее решение уравнения y′ + 2y = x .

Это

линейное уравнение

P(x)= 2,

Q(x)= x (табл.1). Делаем

подстановку y = u(x) v(x), y′ = u′v + uv′. Подставив эти соотношения в

исходное уравнение,

получаем

u′v + uv′ + 2uv = x . Одну из

функций

находим из уравнения

dv + 2v = 0 ,

uv′ + 2uv = 0,

dx

тогда вторая функция u определяется из уравнения u′v = x .

Решая первое уравнение, находим функцию v , то есть

dv = −2v,

dv

= −2dx, ∫ dv

= −∫ 2dx, ln

v

= −2x, v = e−2x

,

dx

v

v

произвольную постоянную для v полагаем равной нулю. Получаем уравнение для нахождения функции u :

du

e

−2x

= x,

du =

x

dx, du = x e

2x

dx, ∫du = ∫x e

2x

dx,

dx

e−2x

u =

1 x e2x −

1

∫e2xdx =

1 x e2x −

1 e2x

+ c .

2

2

2

4

Решение исходного уравнения имеет вид

y = uv = 12 xe2x − 41 e2x + c e−2x .

В задачах № 31-60 для решения дифференциальных уравнений второго порядка следует изучить литературу [1, с. 126-131; 2, с. 58-63; 3, с. 210-212; 4, с. 582-585; 5, с. 397-400].

Уравнения второго порядка допускают понижение порядка ( то есть сводятся к уравнениям первого порядка) в двух случаях (табл.2).

13

Таблица 2 Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие

понижение порядка

Вид уравнения

Подстановка,

применяемая

для понижения порядка

1. y′′ = f (x, y′) - уравнение в явном виде не

y′ = u(x), y′′ =

du .

содержит функцию y .

dx

2. y′′ = f (y, y′) - уравнение в явном виде не

y′ = u(y), y′′ = u du .

содержит переменную x .

dy

Пример. Найти общее решение уравнения 1 + y′ = y′′ x.

Это уравнение не содержит в явном виде функциюy , делаем

подстановку y′ = u(x),

y′′

= du

. Уравнение примет вид

dx

du

du

1

1 + u = dx

x

dx

= (1 + u)x .

Разделим переменные:

du

= dx ,

∫

du

= ∫ dx, ln

1 + u

= ln

x

+ lnc1 , ln

1 + u

= ln

c1x

,

1 + u

x

1 + u

x

1 + u = c1x, u = c1x − 1.

Так как u = dy , получаем

dy = c1x − 1,

dy = (c1x − 1)dx .

dx

dx

Интегрируя это равенство, получим общее решение исходного уравнения

y = c1 x2 2 − x + c2 .

Пример. Найти общее решение уравнения y′′ y2 = (y′)3 .

Это уравнение не содержит в явном виде переменную x , применяем

подстановку y′ = u(y), y′′ = u

du .

dy

Уравнение примет вид

u3

u2

u

du

y2

= u3 ,u

du

=

,

du

=

.

dy

y2

dy

dy

y2

14

Это уравнение с разделяющимися переменными:

du

=

dy

,

∫

du

=

∫

dy

, −

1

= −

1

+ c1 .

u2

y2

u2

y2

u

y

Отсюда находим, что u =

y

, так как u = dy

, то dy =

y

.

1

− c1y

1 − c1y

dx

dx

Разделяя переменные, получим

1 − c

y

1

− c1y = x + c2 .

1

dy = dx,

∫

− c1

dy

= ∫dx,

ln

y

y

y

Это общий интеграл уравнения, y выразить в явном виде отсюда невозможно.

В задачах № 61-90 используют приёмы решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами,

изложенные в литературе [1, с. 135-144; 2, с. 77-82, 84-94; 3, с. 224-233; 4, с. 597-607; 5, с. 400-410].

Для нахождения общего решения однородного дифференциального уравнения используют табл. 3, а для нахождения частного решения неоднородного дифференциального уравнения - табл. 4.

Таблица 3

Общее решение однородного уравнения

Вид общего решения однородного

Корни

характеристического

уравнения

уравнения

1.

y0

= c1ek1x + c2ek 2x

k1 ,k2

-вещественные, k1

≠ k2

2.

y0

= (c1 + c2x)ekx

k1 ,k2

-вещественные, k1

= k2

3.

y0

= (c1 cosβx + c2 sinβx)eαx

k1 ,k2

-комплексные,

k1 = α + βi, k2 = α − βi

Смотрите также файлы