Файл: В.М. Волков Математика. Программа, контрольные работы №9, 10 и методические указания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей 2 курса.2003.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 524
Скачиваний: 1
16
Продолжение табл. 3 Расчёт числовых характеристик
0,22 |
14 |
3,08 |
0 |
0 |
0 |
0,26 |
7 |
1,82 |
0,04 |
0,0016 |
0,0112 |
0,30 |
6 |
1,80 |
0,08 |
0,0064 |
0,0384 |
0,34 |
3 |
1,02 |
0,12 |
0,0144 |
0,0432 |
∑ |
50 |
11,16 |
0,1440 |
Замечания к табл. 3 1. В первом столбце записаны середины интервалов, например, для
первого интервала x1 = 0,12 + 0,16 = 0,14 .
2
2. В третьем столбце результаты перемножения соответствующих значений первого и второго столбца. Вычисляем выборочную среднюю
x = |
∑xi mi |
= |
11,16 |
= 0,2238 ≈ 0,22 . |
|
50 |
|||||
n |
3. В четвёртом столбце разности между значениями xi и выборочным средним x .
4.В пятом столбце записываются квадраты значений четвёртого столбца.
5.В шестом столбце записаны результаты перемножения соответствующих значений второго и пятого столбцов. Вычислим выборочную
дисперсию |
Db = |
∑(xi |
− x)2 |
mi |
= |
0,1440 |
≈ 0,0029 |
и среднее квадратиче- |
|
n |
50 |
||||||||
ское отклонение σx = |
Db |
= |
0,0029 ≈ 0,053. |
||||||
Пример 2. Построить теоретическую кривую нормального распределения по данным примера 1. Проверить по критерию Пирсона правильность выбранной гипотезы при уровне значимости α = 0,05.
Решение. Для построения нормальной кривой рассчитываем теоретические частоты mi по формуле
mi = nh ϕ(ti ),
σx
где ti = |
xi − x |
, ϕ(t)= |
1 |
e− |
t 2 |
n - объём выборки, h - шаг интервала. |
||
2 , |
||||||||
2π |
||||||||
σx |
||||||||
17
Составим расчётную таблицу
Расчёт теоретических частот |
Таблица 4 |
||||||||
xi |
mi |
ti = |
xi − 0,22 |
ϕ(ti ) |
mi = |
50 0,04ϕ(ti ) |
|||
0,053 |
|||||||||
0,053 |
|||||||||
0,14 |
4 |
-1,51 |
0,1276 |
5 |
|||||
0,18 |
16 |
-0,75 |
0,3011 |
11 |
|||||
0,22 |
14 |
0 |
0.3989 |
15 |
|||||
0,26 |
7 |
0,75 |
0,3011 |
11 |
|||||
0,30 |
6 |
1,51 |
0,1276 |
5 |
|||||
0,34 |
3 |
2,26 |
0,0310 |
1 |
|||||
∑ |
50 |
48 |
|||||||
Замечания к табл. 4
1. Значения ϕ(ti ) находят по прил. 1 [1, с. 461; 2, с. 324] «Таблица зна-
чений функции ϕ(x)= |
1 |
e− |
x 2 |
|
». При этом учитывают, что |
||||
2 |
||||
2π |
||||
ϕ(− x)= ϕ(x). Для x > 3,99 ϕ(x)= 0 .
2.Теоретические частоты округляют до целых значений.
Построим полигоны эмпирических и теоретических частот производительности труда рабочих
m i mi
16
12
8
4
xi
0,14 |
0,18 |
0,22 |
0,26 |
0,3 |
0,34 |
|||||
Пунктирной линией построен полигон теоретических частот, а сплошной линией - полигон эмпирических частот.
18
Проверим согласованность теоретического и эмпирического распределения по критерию Пирсона
χ2 = ∑r (mi − mi )2 . p i =1 mi
Расчёт величины χp2 |
Таблица 5 |
|||||
xi |
mi |
mi |
mi − mi |
(mi − mi )2 |
(mi − mi )2 |
|
mi |
||||||
0,14 |
4 |
5 |
4 |
16 |
1 |
|
0,18 |
20 |
16 |
||||
16 |
11 |
|||||
0,22 |
14 |
15 |
-1 |
1 |
0,07 |
|
0,26 |
7 |
11 |
-4 |
16 |
1,45 |
|
0,30 |
6 |
5 |
1 |
1 |
0,166 |
|
0.34 |
9 |
6 |
||||
3 |
1 |
|||||
∑ |
50 |
48 |
2,686 |
|||
Замечание к табл. 5 |
||||||
Если число наблюдений |
(частота mi ) в интервале меньше 5, то ин- |
|||||
тервал объединяется с соседним и их частоты складываются. В этом случае и соответствующие им теоретические частоты mi также надо
сложить.
По прил. 5 « Критические точки распределения χ2 » [1, с. 465; 2, с.
329] находим χтабл2 (k,α), где α = 0,05 - уровень значимости, k - число степеней свободы, k = r − 3 = 4 − 3 = 1 (r - число интервалов после объе-
динения), χтабл2 (1;0,05)= 3,8. Так как χp2 = 2,686 меньше χтабл2 (1;0,05)= 3,8,
то различия между теоретическими и эмпирическими частотами незначимы.
Вывод. Производительность труда рабочих при проходке штрека распределяется по нормальному закону и имеет функцию плотности
1 |
−(x−0,22)2 |
||
f (x)= |
2π |
e 2(0,053)2 . |
|
0,053 |
19
Пример 3. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надёжностью γ = 0,95 по
значениям x = 0,22; σx = 0,053; n = 50 , полученным в первом примере.
Решение. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии генеральной совокупности определяется по формуле
x − |
s |
tn, γ < a < x + |
s |
tn, γ . |
n |
n |
|||
Для γ = 0,95, n = 50 по прил. «Таблица значений tγ = t(γ,n)» [1, с. 464; |
||||
2, с. 328] определяем tγ = t(0,95;50)= 2,009.
Определяем исправленную дисперсию s2 :
s2 = Db n |
n − 1 |
= 0,0029 |
50 |
= 0,00295; |
|
50 − 1 |
|||||
s = |
s2 = |
0,00295 = 0,054; |
|||
s |
tn, γ = |
0,054 2,009 ≈ |
0,015; |
||
n |
|||||
50 |
|||||
0,22 − 0,015 < a < 0,22 + 0,015; |
0,205 < a < 0,235 . |
||||
Пример 4. При уровне значимости α = 0,08 проверить нулевую гипотезу H0: M(X)= M(Z) при конкурирующей гипотезе H1: M(X)≠ M(Z),
если z = 0,24; |
D(Z)= 0,01; |
m = 60 взяты из генеральной совокупности |
Z , а x = 0,22; |
D(X)= 0,029; |
n = 50 берём из первого примера. |
Решение. Вычисляем расчётное значение Z - критерия. Так как дисперсии генеральных совокупностей известны, то
x − z |
0,22 − 0,24 |
≈ 1,33. |
|||||||||||||||||||
Zp = |
= |
||||||||||||||||||||
D(Z) |
|||||||||||||||||||||
D(X) |
0,0029 0,01 |
||||||||||||||||||||
+ |
+ |
||||||||||||||||||||
50 |
60 |
||||||||||||||||||||
n |
m |
||||||||||||||||||||
Определяем критическую точку из равенства |
|||||||||||||||||||||
Φ(Zkp )= |
1 − α |
= |
1 − 0,08 |
= 0,46 . |
|||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||
2 |
z2 |
||||||||||||||||||||
По прил. 2 «Таблица значений функции Φ(x)= |
1 |
x |
− |
||||||||||||||||||
∫e |
2 |
dz » |
|||||||||||||||||||
2π |
0 |
||||||||||||||||||||
[2, с. 462] по значению функции 0,46 определяем табличное (критическое) значение аргумента Zkp = 1,75 . Сравним Zp = 1,33 и Zkp = 1,75 . Так