Файл: В.М. Волков Математика. Контрольные работы №1, 2, 3 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических спецальностей.pdf

ВВЕДЕНИЕ

Данные контрольные работы составлены в соответствии с методическими указаниями по математике, разработанными учебнометодическим управлением по высшему образованию, и с учетом особенностей учебных программ специальностей, по которым обучаются в ГУ Кузбасский государственный технический университет. Контрольные работы №1, 2, 3 выполняют в первом семестре. Номера задач контрольной работы определяют по табл. 1. В первом столбце студент находит первую букву своей фамилии, в первой строке таблицы отмечает последнюю цифру шифра своей зачетной книжки и берет номера, находящиеся на пересечении строки (с первой буквой фамилии) и столбца (с последней цифрой шифра). Например, студент А.И.Петров имеет шифр зачетной книжки 82-458. Буква “ П “ находится в шестой строке, последняя цифра “8” попадает в девятый столбец, на их пересечении записаны номера 29, 39, 78, 106 и 136. Студент А.И. Петров в каждой контрольной работе выполняет задания под данными номерами.

ПРОГРАММА

1.ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

ИАНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

1.Определители второго и третьего порядков, их свойства. Определители n-го порядка. Метод Крамера решения систем линейных урав-

нений.

2.Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Направляющие косинусы и длина вектора.

3.Скалярное произведение и его свойства. Длина вектора и угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения.

4.Векторное произведение двух векторов и его свойства. Условие коллинеарности двух векторов.

5.Смешанное произведение векторов. Геометрический смысл.

6.Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Выбор номеров задач контрольных работ

7.Кривые второго порядка, их геометрические свойства и канонические уравнения.

8.Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью.

9.Полярные координаты на плоскости.

2.ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

1.Функция. Область ее определения. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

2.Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

3.Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности.

4.Непрерывность функции в точке.

5.Бесконечно малые и их свойства. Сравнение бесконечно малых.

6.Точки разрыва.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1

В первую контрольную работу включены задачи по линейной и векторной алгебре, аналитической геометрии. По каждому разделу изучаемых тем даются ссылки с указанием страниц. Ссылки даны на несколько учебников, пользоваться можно любым из них. Приведены рекомендации по преодолению наибольших трудностей, которые встречаются при решении задач.

1. При решении задач №1-60 необходимо использовать знания линейной алгебры [1, гл.5, п 2-3].

x + 3y - z = 2

Для системы линейных уравнений 2x + 4z =1

x + y + 3z = 3

определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен:

[2, гл.3, п 1, с. 69-72]. Так как определитель системы отличен от нуля, то для ее решения можно воспользоваться формулами Крамера [2, гл.3, п 2, с. 78-81; 5, с. 138-141]. Получим решение системы:

у которой число уравнений не равно числу неизвестных, удобнее применить метод Гаусса [3, гл. 2, п 7, с.83-88; 4, с. 23-25; 6, с. 101104]. Приведем систему к треугольному виду. Можно записывать только матрицу коэффициентов:

Последняя матрица соответствует системе двух уравнений с четырьмя

Примем за свободные неизвестные x3 и x4 , перенесем их в правую часть уравнения и получим общее решение системы:

ний системы. Теория исследования систем m линейных уравнений с n

неизвестными изложена в [3, гл. 2, п 7; 5, с. 181-190; 6, с.97-100].

2. Для решения задач № 61-90 необходимо проработать литературу: [3, гл.2, п.4, 4, с. 39, задача 4; 6, с.155-161].

Например, векторы a ={1, 2, 3}, b ={0, 4, 5}, c={6, 7, 8} образуют базис в трехмерном пространстве, потому что определитель, со-

вектор этого пространства можно выразить через данные векторы a , b ,

c . Разложим вектор e = {−1, − 2, − 6} в базисе a, b, с: e = λ1 a + λ2 b + λ3 c . Это равенство векторов равносильно системе трех уравнений с тремя

неизвестными λ1 , λ2 , λ3 :

−1 =1λ1 + 0λ2 + 6λ3 ,− 2 = 2λ1 + 4λ2 + 7λ3 ,− 6 = 3λ1 + 5λ2 + 8λ3 .

Решение системы, которое может быть найдено по формулам Краме-

3. В задачах № 91-120 в пункте первом нужно найти длину ребра Α1 Α2 . Ее следует определять как длину вектора [2, с. 90, 5, с.102, 6,

При определении угла между ребрами Α1 Α2 и Α1 Α4 (пункт 2) нужно воспользоваться понятием скалярного произведения векторов