Файл: В.М. Волков Эконометрика. Методические указания и пример выполнения контрольной работы для студентов заочной формы обучения экономических специальностей 060500,060400.pdf

6

Стьюдента приведены в табл. 2.

В случае, если t< tкр, гипотеза о случайности временного ряда (равенства средних) принимается. В противном случае – отвергается, что говорит о значимости различия средних первой и второй половины ряда, неслучайном поведении ряда и наличии временного тренда.

4. Автокорреляционный анализ временных рядов

Задачей автокорреляционного анализа временного ряда является установление степени и временного интервала влияния последующих членов ряда от предыдущих. Наличие корреляционной связи между последующими и предыдущими членами ряда также служит информативным признаком временного тренда.

Для этого последовательно рассчитывают коэффициенты автокорреляции rk между первыми и последними (N – k) членами ряда ut

и ut+k (k = 1, 2,...):

где ut , ut +k , ut ut +k – средние значения, а s1 и s2 – средние квадратические отклонения рядов ut и ut+k.

Средние значения величин ut , ut +k , ut ut +k вычисляются как

средние арифметические этих значений по формуле (2), например:

ut ut +k = N∑−k(ut ut +k ) (N −k) . t =1

Среднеквадратическое отклонение s = s 2 , где s 2 – дисперсия

величины иt равна:

s2 2 = N∑−k (ut +k −ut +k )2 (N −k). t =1

После вычисления коэффициентов автокорреляции по формуле (9) проверяется значимость коэффициентов автокорреляции сравнением этих значений с критическими значениями коэффициента корреляции rкр. Если rк < rкр, то корреляция на временном интервале в k

7

единиц отсутствует. При 5-процентном уровне значимости критические значения коэффициента корреляции приведены в табл. 3.

Таблица 3

Полученные результаты оформляют в виде графической зависимости rк от k, которая носит название коррелограммы. Если для первых k значений выполняется условие rк> rкр, то имеется значимая зависимость между первыми (N–k) и последними (N–k) членами ряда. Таким образом, временная длина зависимости составляет k временных единиц, что говорит о возможности долгосрочного прогноза на k временных шагов вперед.

5. Модели краткосрочного прогноза

Для краткосрочного прогноза на один временной шаг используют 1, 2, 3, 4 или 5 последних значений временного ряда. Прогнозное значение определяют по следующим формулам:

1) прогноз по одному последнему значению

6. Оценка точности и достоверности краткосрочного прогноза

Оценку точности краткосрочного прогноза проводят на основе сравнения прогнозируемых значений ряда un+1( к ) с известными зна-

чениями un+1 .

Для этого вычисляют абсолютную погрешность прогнозного значения по выражению

8

В первой модели погрешности вычисляют для значений ряда, начиная со второго по формуле (10). Во второй модели для вычисления погрешностей используют прогнозные значения, рассчитанные по формуле (11), и данные значения, начиная с третьего, и т.д.

Затем задают предельное значение погрешности ∆кр, с которым сравнивают рассчитанные абсолютные погрешности. Предельное значение погрешности может выбираться как некоторое абсолютное значение (например, 5 копеек; 1,5 тонны) или как относительное значение – 5 %, 10 % от значений временного ряда, что определяется существом решаемой задачи. Если ∆к< ∆кр, то прогноз считается точным, в противном случае – неточным. Для каждой модели производят подсчет числа точных прогнозов К+. Далее оценивают достоверность каждой модели прогноза, для чего рассчитывают процентное отношение точных прогнозов К+ к общему числу прогнозов К= N–k, где k

– номер модели. То есть достоверность определяют как

Модель, имеющая наибольший процент достоверных прогнозов, выбирается для краткосрочного прогнозирования.

7. Определение степени полиномиального тренда методом переменных разностей

Для выделения полиномиального тренда степени p предварительно находят значение этой степени по следующей процедуре, которая аналогична дифференцированию полинома. Так, очевидно, что вторая производная полинома первой степени, третья производная полинома второй степени и т.д. равны нулю.

Для временного ряда операция дифференцирования заменяется вычислением переменных разностей, а условие равенства производной нулю – проверкой гипотезы о равенстве дисперсий предыдущих и последующих разностей.

Таким образом, сначала вычисляют первые разности:

9

Под разностями нулевого порядка понимается сам временной ряд. На каждом шаге, начиная с n = 0, вычисляют дисперсии разностей

(при n= 0 имеем дисперсию всего временного ряда).

На каждом шаге для каждых двух (предыдущей и последующей) дисперсий проверяют гипотезу о равенстве дисперсий по критерию Фишера в соответствии с (7).

Если Fn < Fкр, то можно принять, что дисперсии отличаются незначимо. В противном случае процедура вычисления разностей и их дисперсий продолжается. Здесь

а Fкр = F(α, k1 , k2), где α – принятый уровень значимости; k1 = N– n, k2 = N – n – 1 – степени свободы.

Для 5 % уровня значимости критические значения распределения Фишера Fкр приведены в табл. 1.

Последовательность дисперсий (20) убывает с ростом n, и при некотором значении p = n – 1 выполняется неравенство Fn < Fкр. Полученное значение p и является степенью полиномиального тренда.

Дисперсия sp2 называется дисперсией случайности, а разности порядка p являются случайной компонентой временного ряда.

8. Выделение полиномиального тренда

После определения степени полиномиального тренда методом наименьших квадратов находят уравнение тренда (оценка его коэффициентов).

Для p = 1 – линейного тренда

оценки коэффициентов тренда находятся из системы линейных уравнений: