Файл: В.М. Волков Эконометрика. Методические указания и пример выполнения контрольной работы для студентов заочной формы обучения экономических специальностей 060500,060400.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 03.06.2024
Просмотров: 224
Скачиваний: 0
10 |
||
a∑t2 +b∑t = ∑t |
u |
(23) |
a∑t +bN = ∑ut . |
t |
|
9. Проверка адекватности трендовой модели
Для получения надежного, долговременного прогноза необходимо проверить трендовую модель на адекватность, то есть выяснить, не являются ли ошибки выбранной аппроксимации также трендовой моделью. А это означает, что случайная составляющая в выбранной модели не была исключена. Поэтому рассматривают ряд остатков –
разность значений ряда и значений тренда: |
|
εt = ut – yt. |
(24) |
Таким образом, проверяют следующие гипотезы:
а) о случайности ряда остатков методом сравнения средних первой и второй половин ряда остатков в соответствии с формулой (8). Если гипотеза о случайности ряда остатков отвергается, то трендовую модель следует считать неадекватной; б) о равенстве математического ожидания ряда остатков нулю по статистике
t =εt n / sε , |
(25) |
где εt – среднее значение ряда остатков; sε – среднее квадратическое
ряда остатков.
На 5 % уровне значимости вычисленное значение t сравнивается с критическим значением, взятым из табл. 2, с n–1 степенями свободы. Если гипотеза отвергается, то модель считается неадекватной на 5 % уровне значимости;
в) отсутствие автокорреляции ряда остатков; для проверки этой гипотезы используется критерий Дарбина-Уотсона со статистикой
n |
n |
2 . |
|
D= ∑(εt −εt −1 )2 |
∑εt |
(26) |
|
t =2 |
t =1 |
||
Если D [2;4], следует использовать вспомогательную статистику |
|||
D1=4–D.
Расчетное значение D или D1 сравнивается с верхним d2 и нижним d1 критическими значениями статистики Дарбина-Уотсона, представленными в табл. 4 для различной длины ряда N и числа определяемых параметров модели (k+1) на уровне значимости 5 %.
11
Таблица 4 |
|||||||
N |
k=1 |
k=2 |
k=3 |
||||
d1 |
d2 |
d1 |
d2 |
d1 |
d2 |
||
10 |
0,88 |
1,32 |
0,70 |
1,64 |
0,53 |
2,02 |
|
15 |
1,08 |
1,36 |
0,95 |
1,54 |
0,82 |
1,75 |
|
20 |
1,20 |
1,41 |
1,10 |
1,54 |
1,00 |
1,68 |
|
30 |
1,35 |
1,49 |
1,28 |
1,57 |
1,21 |
1,65 |
|
Если расчетное значение критерия D больше верхнего табличного значения d2, то гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, т.е. об отсутствии в ней автокорреляции, принимается. Если значение D меньше нижнего табличного значения d1, то эта гипотеза отвергается и модель неадекватна. Если значение D находится между значениями d1 и d2, включая сами эти значения, то считается, что нет достаточных оснований сделать тот или иной вывод и необходимы дальнейшие исследования, например по большему числу наблюдений.
Трендовая модель считается адекватной, если подтверждены все три гипотезы а), б), в).
10. Краткосрочный и долгосрочный прогнозы значений временного ряда и оценка относительной погрешности прогнозов
Кратковременный прогноз значений временного ряда на один шаг для t = N+1 находится с помощью метода скользящих средних по m последним значениям ряда на основе выбора наиболее достоверной модели из п. 5, 6.
Долговременное прогнозирование значений временного ряда на k
шагов вперед осуществляется по уравнению тренда: |
|
~ |
(27) |
uN +k = a(N + k)+b . |
Относительная погрешность прогнозов определяется по следующей формуле
~ |
||||||
Пк = |
un+k −un+k |
100% , (k =1, 2, 3, 4, 5) . |
(28) |
|||
un+k |
||||||
12
Пример выполнения контрольного задания
Временной ряд представляет среднюю заработную плату работников угольной промышленности Кузбасса за 10 месяцев
1992 года в тыс. рублей: 32, 33, 36, 41, 68, 57, 96, 113, 132, 113. Кон-
трольные значения средней заработной платы за следующие
3месяца 128, 137, 134 тыс. рублей.
1.Строим график временного ряда.
140 |
|
120 |
|
100 |
|
80 |
|
60 |
|
40 |
|
20 |
|
0 |
t |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Вычисляем среднее значение
1 10
ut = 10 t∑=1ut = 72 ,
дисперсию
s2 = |
1 10∑(u −72)2 |
=1461,9, |
9 t =1 t |
среднее квадратическое отклонение s= s2 = 1461,9 = 38,2.
2. Проводим линейное сглаживание временного ряда по m = 5 точкам по формулам (5) и (6).
Заданные и сглаженные значения временного ряда заносим в таблицу. Строим графики этих рядов.
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
ut |
32 |
33 |
36 |
41 |
68 |
57 |
96 |
113 |
132 |
113 |
~ |
26 |
34 |
42 |
47 |
60 |
75 |
93 |
102 |
117 |
132 |
ut |
13 |
|||||||||
140 |
|||||||||
120 |
|||||||||
100 |
|||||||||
80 |
|||||||||
60 |
|||||||||
40 |
|||||||||
20 |
|||||||||
0 |
t |
||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 10 |
График сглаженного ряда показывает монотонное возрастание значений ряда во времени.
3. Проверяем гипотезу о случайности ряда на основе сравнения средних первой и второй половин ряда. Предварительно вычисляем величины:
u |
= |
1 |
∑5 |
u |
= 42 , u |
= |
1 |
10∑u |
= 102,2 ; |
|||||||||||
5 |
||||||||||||||||||||
п |
1 |
t |
в |
5 6 |
t |
|||||||||||||||
2 |
1 |
5 |
2 |
2 |
1 |
10 |
2 |
|||||||||||||
s |
п |
= |
∑(u − 42) |
= 223,5 , |
s |
в |
= |
∑ |
(u |
−102,2) = 800,7 . |
||||||||||
4 |
1 |
t |
4 |
6 |
t |
|||||||||||||||
Проверяем гипотезу о равенстве дисперсий первой и второй половины ряда по критерию Фишера (9):
F = sв2 = 800,7 = 3,58. sп2 223,5
Из табл. 1 находим Fкр= 5,0. Так как 3,58<5,0, гипотеза о равенстве дисперсий принимается.
Вычисляем величину t по формуле (10):
t = |
42−102,2 |
5 5 (5 +5 −2) |
=− 4,21 . |
|
4 |
223,5 +4 800,7 |
5 +5 |
По табл. 2 определяем tкр =t8;0,05 =2,38. Так как t > tкр, то различия между средними первой и второй половинами ряда значимы, ряд не является случайным и временной тренд существует на уровне значимости 5 %.
4. Проводим автокорреляционный анализ временного ряда. Вычисляем коэффициенты автокорреляции по формуле (9), пред-
варительно составив следующие таблицы. В последнем столбце каж-
14
дой таблицы вычислено среднее значение. k = 1
ut |
32 |
33 |
36 |
41 |
68 |
57 |
96 |
113 |
132 |
68 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ut+1 |
33 |
36 |
41 |
68 |
57 |
96 |
113 |
132 |
113 |
77 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ut ut+1 |
1056 |
1188 |
1476 |
2788 |
3876 |
5472 |
10848 |
14916 |
14916 |
6282 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Для |
величины ut дисперсия |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s |
2 |
= 1 ∑9 (u |
−68)2 |
=1255,6 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
9 t =1 |
t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для величины ut+1 |
дисперсия |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s |
2 |
= 1 |
∑9 (u |
−77)2 |
=1263,6 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
9 t =1 |
t |
+1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Коэффициент корреляции |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r 1 |
= |
6282 −68 77 |
= 0,83 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1255,6 |
1263,6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k = 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ut |
32 |
33 |
36 |
41 |
68 |
57 |
96 |
113 |
60 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Ut+2 |
36 |
41 |
68 |
57 |
96 |
113 |
132 |
113 |
82 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ut ut+2 |
1152 |
1353 |
2448 |
2337 |
6528 |
6441 |
12672 |
12769 |
5713 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= 1 |
8 |
2 |
1 |
8 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s |
−60) |
= |
828,3 ; s |
2 = |
−82) |
=1154,5; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
∑(u |
∑(u |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
8 t =1 |
t |
2 |
8 t =1 |
t +2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r |
= |
5713 −60 82 |
= 0,81. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
28,8 34,0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k = 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ut |
32 |
33 |
36 |
41 |
68 |
57 |
96 |
52 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ut+3 |
41 |
68 |
57 |
96 |
113 |
132 |
113 |
89 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ut ut+3 |
1312 |
2244 |
2052 |
3936 |
7684 |
7524 |
10848 |
5086 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 1 |
7 |
2 |
1 |
7 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s |
−52) |
= |
479,2; s |
2 = |
(u |
−89) |
= 973,0; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
∑(u |
∑ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
7 t =1 |
t |
2 |
7 t =1 |
t +3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r3 = |
5086 −52 89 |
= 0,67. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
21,9 31,2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||