Файл: Е.Н. Грибанов Высшая математика. Контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических специальностей.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 572

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 30 -

x =

e

−

2t

57. а) y =

2x2 +

4x , x =

1.

, t

=

0.

б )

3

y =

t

+

1

t

x =

2 −

x 3x+ 1, x =

2 +

t 2

58.

а) y =

1.

б )

, t =

0.

t 2

y =

2 +

t

2

x

x =

t

2

+

t

+

1

59.

а) y =

ln tg

, x =

π .

б )

, t

=

1.

3

3

y =

t

+

t

−

3t

x =

e

π

6x5 −

2x3 −

60. а) y =

3x +

4, x =

0.

б )

sin t ln(1+

)

, t = −

.

2

4

y =

t

61-90. Дано уравнение движения тела

!

=

!

(t) , где t -время. Определить

r

r

скорость и ускорение тела в момент t0 , изобразить эти векторы.

!

(t) =

!

!

!

π

61.

r

2cos t i

+

2 sint

j +

3t k ,

t0 =

.

2

62.

!

(t) =

cosα

cosω

!

+

sinα

sinω t

!

+

!

t0 = 0.

r

t i

j

sinω

t k ,

!

(t) =

t 4

!

t 2

!

t3

!

63.

r

i

+

j

+

k ,

t0 =

1.

4

2

3

!

(t) =

!

at 2

!

at3

!

64.

r

at i

+

j

+

k ,

t0 =

6.

2

3

t

!

!

!

π

!

(t) =

( t −

sin t)

+ ( 1−

cos)t

65.

r

i

j

+

4 sin

k ,

t0 =

.

2

2

!

(t) =

et

!

e−

t

!

!

t0 =

66.

r

i

+

j

+

t

2 k ,

1.

!

(t) =

t 2

!

(1−

t)

!

t3

!

t0 =

67.

r

i

+

j

+

k ,

1.

!

(t) =

!

!

t

!

π

68.

r

a cos t i

+

a sin t

j

+

k ,

t0 =

.

2π

4

!

(t) =

!

!

!

π

69.

r

sint i

+

cos t

j

+

tgt k ,

t0

=

.

4

!

(t) =

( 2t +

3)

!

+ (

)1

!

!

t0

70.

r

i

3t

−

j

+

t 2 k ,

=

2.

71.

!

(t) =

!

+

ln t

!

+

t

!

t0

= 1.

r

2t i

j

2 k ,

!

!

(t) =

!

a sint

!

t0 =

72.

r

a cos t i

+

j

+

a lncos t k ,

0.

- 31 -

!

(t) =

et

!

et

sint

!

!

t0 =

73.

r

cos t i

+

j

+

et k ,

0.

74.

!

(t) =

et

!

+

!

+

et

!

t0 =

0.

r

sint i

j

2

cos t k ,

2

!

!

!

1

75.

!

(t) =

+

3 t

t0

=

.

r

cos t i

+

sin t j

k ,

2

!

(t) =

!

!

!

π

76.

r

sin2 t i +

sin t cos t

j

+

cos2 t k ,

t0

=

.

4

!

(t) =

!

(t 2

t )

!

(3t 2

t )

!

t0 =

77.

r

3

t i

+

−

j

+

+

k ,

1.

!

(t) =

et

!

et

cos t

!

et

!

t0 =

78.

r

i

+

j

+

sint k ,

0.

!

!

!

4

!

79.

r

(t) =

(t 4 −

3t 2 ) i

+

(t3 +

2t )

j

+

k ,

t0 =

−

1.

t

!

(t) =

!

(t3 −

2t)

!

!

t0 = 3.

80.

r

10 −

t 2 i

+

j

+

(4t − 3t 2) k ,

!

(t) =

!

+ (t 4 + 3)

!

!

81.

r

(t3 − 3) i

j

+ ln t k , t0 = 1.

!

(t) =

!

!

!

π

82.

r

cos 2t i

−

3sin2t j

+

2ctgt k ,

t0 =

.

4

!

(t) =

t 2

!

−

t

!

et

!

e

t0 =

83.

r

i

−

j

+

k ,

0.

!

(t) =

!

!

!

π

84.

r

sin2t i

+

t 2 j

+

cos 2t k ,

t0 =

.

4

!

(t) =

!

+ (t3 +

1)

!

(t +

!

t0 =

85.

r

ln t i

j +

2)2 k ,

1.

!

(t) =

t 2 +

!

(t3 +

!

t

!

e 2

t0 =

86.

r

9 i

+

7t) j

+

k ,

4.

!

(t) =

2t

!

!

(t 2 +

!

t0 =

87.

r

i

+

2

−

t

j

+

3) k ,

1.

!

(t) =

(5t 2 +

!

4

!

!

t0 =

88.

r

1) i

+

3t +

j

+

lnt k ,

4.

!

(t) =

!

!

!

π

89.

r

cos2 t i

+

sin2 t

j +

4t k ,

t0

=

.

2

(t) =

!

!

!

π

90.

!

t +

+

6t 2 +

4

+

t0 =

.

r

1 i

j

5 t k ,

2

Контрольная работа № 5

- 32 -

1-30. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

[a; b] .

1.

f (x) =

x

, [0;2].

1+ x2

3.

f (x) =

x3 , [− 1;3].

5. f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1, [− 1;5].

7. f (x) = ( x − 3)

x , [0;4].

9. f (x) =

x + sin x, [0;π

].

11. f (x) =

x

, [2;5].

x2 −

1

13. f (x) =

x2

, 0;

1

.

x2 −

1

2

15. f (x) =

1

+ 4x2 , [0,2;1].

x

π

17. f (x) =

0,5x +

cos x ,

;π

.

x + 3

2

19. f (x) =

, [− 3;7].

x2 + 7

−

3π

.

21. f (x) =

0,5x +

cos x,

;− π

2

23. f (x) =

1

x −

sin x,

−

2π ;−

3π

.

2

2

25. f (x) =

0,5x +

cos x, −

2π

;−

3π

.

2

27. f (x) =

x2 e−

x , [1;3].

29. f (x) =

x − sin x , [0;π

].

2. f (x) =

x(10 − x) , [− 1;1].

4. f (x) = x2 ( x − 3) , [1;3].

6. f (x) =

x

, [3;6].

x −

2

8. f (x) =

x − 3

x , [− 3;0].

3

1

;e .

10.

f (x) = x ln x,

2e

12.

f (x) =

1

,

−

1

;

1

.

1−

x2

2

2

14.

f (x) = (x2 − 1)3 , [0;3].

16.

f (x) =

x + 6

, [− 5;5].

x2 + 13

18. f (x) =

x − 3

, [− 5;5].

x2 + 16

3π

.

20. f (x) =

0,5x −

sin x,

;2π

x −

5

2

22. f (x) =

, [− 3;7].

x2 +

11

24. f (x) =

x −

4

, [− 4;6].

x2 +

9

26.

f (x) =

x3

,

[2;4].

3 −

x2

28.

f (x) =

e x

, [1;2].

x

f (x) =

8ln x, [1;e].

30.

x2 −

31. Требуется изготовить ящик с крышкой, объём которого был бы равен 72 см3, причём стороны основания относились бы, как 1:2. Каковы

- 33 -

должны быть размеры всех сторон, чтобы полная поверхность была наименьшей?

32.Объём правильной треугольной призмы равен V . Какова должна быть сторона основания, чтобы полная поверхность призмы была наименьшей?

33.Открытый бак имеет форму цилиндра. При данном объёме V каковы должны быть радиус основания и высота цилиндра, чтобы его поверхность была наименьшей?

34.Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должны быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

35.Из круга вырезан сектор с центральным углом α . Из сектора свёрнута коническая поверхность. При каком значении угла α объём полученного конуса будет наибольшим?

36. Дождевая капля падает со скоростью v = gt , где t -время,

g =

9,8

м/с2. Масса капли уменьшается по закону m(t) = m0 − kt , где m0 -

на-

чальная масса, k - постоянный коэффициент. Через сколько секунд, после начала падения кинетическая энергия капли будет наибольшей и какова она?

37.Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега (лагерь расположен на берегу). Если гонец может делать пешком по 5 км/ч, а на веслах по 4 км/ч, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?

38.На странице книги печатный текст должен занимать S квадратных сантиметров. Верхнее и нижнее поля должны быть по a см, правое и левое - по b см. Если принимать во внимание только экономию бумаги, то каковы должны быть наиболее выгодные размеры страницы?

39.Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в полуокружность радиусом R .

40.Полоса железа шириной a должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла, опирающегося на эту дугу, при котором вместимость желоба будет наибольшей.

41. На оси параболы y2 = 2 p x дана точка на расстоянии a от вершины. Указать абсциссу x ближайшей к ней точки кривой.

Смотрите также файлы