ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 12.06.2024
Просмотров: 31
Скачиваний: 0
6
3. ПРИМЕР ПОСТРОЕНИЯ ПЛАНОВ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ПРИ ДВУХ РАЗЛОЖЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ
3.1. Условие задачи
Дано:
-кинематическая схема механизма (рис.3, а);
-координата ϕ 1 , угловая скорость ω 1 и угловое ускорение ε 1
звена 1.
Требуется определить скорости и ускорения точек А, С2, В, а также угловые скорости и ускорения звеньев.
3.2. Построение плана скоростей
Согласно изложенной выше методике, кинематический анализ будем вести от кривошипа 1 и далее в порядке присоединения групп Ассура. В нашем примере к начальному механизму, состоящему из стойки 0 и кривошипа 1, присоединена только одна двухповодковая группа Ассура, состоящая из кулисы 2 и кулисного камня 3 (см. строку 2 табл. 1). А2 и С3 - точки присоединения группы.
Скорость первой точки присоединения - точки А - определяется по
формуле (2.3), скорость второй - равна нулю. |
|
Как следует из табл. 1, абсолютное движение |
звена 2 разложе- |
но дважды. Первый раз - на поступательное вместе |
с системой коор- |
динат Аху и вращательное относительно этой системы. Второй раз -
на плоскопараллельное вместе с системой x3 y3 (связанной со звеном |
3) и |
|||||||||||||
прямолинейное поступательноеотносительноэтой системы. |
|
|||||||||||||
|
Скорость точки С2 определяется в результате решения систе- |
|||||||||||||
мы векторных уравнений, взятых из табл. 1: |
|
|||||||||||||
|
|
|
vC |
2 |
= |
vA |
|
+ |
v |
C A , |
(3.1) |
|||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОA СА |
|
||||||
|
|
|
vC2 |
= |
vC3 |
|
+ vC2 3 , |
(3.2) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
//AB |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где |
v |
C A |
- скорость точки С2 относительно системы Axy; |
|
||||||||||
2 |
- скорость точки С2 |
относительно системы x3 y3. |
|
|||||||||||
|
vC 3 |
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7
1
O ω 1 ε 1
0
|
|
y |
|
ко р |
|
|
|
|
|
|
|
aC2 |
3 |
|
|
p |
|
|
|
A |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ω |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
vC2 3 |
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
b |
a |
||
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
ω |
2 |
=ω |
3 |
|
|
|
б) |
|
C |
|
|
x3 |
b |
c2 |
|
π |
|
3 |
|
|
|
n2 |
||
y3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n1 |
|
|
||
ε |
|
= ε |
|
|
|
||
В |
2 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a) |
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
Рис.3. Кулисный механизм - (а) с планом скоростей - (б) и ускорений - (в)
Переносные скорости vA |
и vC определяются непосредственно по |
||
|
2 |
3 |
|
исходным данным: vA |
= vA = |
ω 1 lOA , |
vC = 0 . |
2 |
1 |
|
3 |
Относительные скорости известны своими линиями действия. |
|||
Под векторами показаны линии их |
действия. Кроме того, векторы |
||
подчеркнуты двумя чертами, если они известны и по величине, и по направлению. Одна черта означает, что известна только линия действия. Это позволяет наглядно увидеть, что в системе четыре неизвестных: модуль и направление скорости vC2 , а также модули
относительных скоростей vC2 A , vC2 3 . При четырех неизвестных
система векторных уравнений разрешима. Для решения системы, из произвольной точки р (рис.3, б), называемой полюсом плана скоростей, проводим ра, изображающий скорость vA2 . Определяем масштабный
коэффициент будущего плана скоростей:
v = vА / pа, м с− 1 /мм. |
(3.3) |
2 |
|
8
Через масштабный коэффициент скорость любой точки определяется по формуле:
v = v v , м/c, |
(3.4) |
где v - выраженная в мм длина отрезка, изображающего |
скорость |
v на плане.
Далее, согласно уравнению (3.1), к построенному вектору прибавляем вектор vC2 A . Для этого из точки a перпендикулярно СА прово-
дим линию действия этого вектора.
Точно так же строим цепь векторов правой части уравнения (3.2). В точке пересечения линий действия относительных скоростей лежит конец вектора vC2 . Обозначим этот конец через с2. Искомые
vC2 , vC2 3 равны вектору рс2, а vC2 A - вектору ас2. Величины построен-
ных скоростей определяются по формуле (3.4). На этом система уравнений (3.1), (3.2) решена.
Скорость точки В кулисы 2 определим по теореме подобия, т.к. скорости двух точек (А и С2) этого звена уже известны. Согласно теореме подобия, точки одного и того же звена на схеме механизма и концы абсолютных скоростей (ускорений) этих же точек на плане скоростей (ускорений) образуютподобныеисходственно расположенныефигуры.
Исходя из теоремы, на отрезке ас2 (рис.3, б) построим треугольник ac2b, подобный треугольнику A С2 B (рис.3, а). Отрезок рb изобра-
жает искомую скорость. |
Модуль скорости точки B найдем по форму- |
|
ле(3.4). |
|
|
На этом линейные скорости всех точек определены. |
Найдем уг- |
|
ловые скорости звеньев: |
|
|
ω 2 =ω |
3 = vC A / lAC , с-1. |
(3.5) |
|
2 |
|
Направление угловыхскоростей определяетсянаправлениемвектора
vC2 A .
3.3. Построение плана ускорений
Нормальную и тангенциальную составляющие ускорения точки А определим по формулам (2.3), (2.4), а полное ускорение - их гра-
фическим сложением (рис. 3, в), где |
π n |
= |
an |
и |
n а = |
aτ |
. Буквой |
|
1 |
|
А |
|
1 |
А |
|
π обозначен полюс плана ускорений. |
Полное |
ускорение |
точки А: |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
аА = |
π а a , м/с2, |
где |
а |
|
- масштабный |
коэффициент |
плана |
ускоре- |
|||||||||||||||||||||||||||
ний, |
который |
надо определить после выбора отрезка |
π n1 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Ускорение точки С2 определим из разложений движения, приня- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
тых при определении скоростей ( см. |
|
строку 2 табл. 1 ): |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
C2 |
= |
|
а |
А |
+ |
|
а |
n + |
|
|
|
а |
τ |
|
, |
|
|
|
|
|
|
(3.6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 А |
|
|
|
|
С2 А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
//CA |
CA |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
a |
C2 |
= |
|
|
a |
|
|
|
+ |
|
a |
+ |
|
|
|
a |
ко р . |
|
|
|
|
(3.7) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C3 |
|
|
|
C2 3 |
|
|
|
|
C2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=0 |
|
//АВ |
|
|
АВ |
|
|
|
|
|
|
Axy |
||||||||||||||||
|
|
Нормальное |
ускорение |
|
|
|
точки |
|
C2 |
относительно системы |
|||||||||||||||||||||||||
а |
n |
и ускорение |
Кориолиса |
а |
|
ко р |
подчеркнуты двумя |
линиями, |
т. |
||||||||||||||||||||||||||
С2 А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
к. их модули известны. |
Они определены по формулам: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
аСn |
|
А = |
|
|
vC2 |
A |
/ lAC , |
|
|
|
|
|
(3.8) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
аСко 3р |
= |
2ω |
|
|
пе р vотн = |
|
2ω |
3 vC 3 . |
|
|
|
|
(3.9) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Направление |
ускорения |
Кориолиса получим поворотом вектора |
|||||||||||||||||||||||||||||||
относительной |
скорости |
|
|
|
vC 3 |
( рис. 3.1, б, в ) на 90o |
в сторону |
ω 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отметим, что |
в уравнении |
(3.6) |
|
ускорение Кориолиса |
а |
ко р |
отсут- |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С2 А |
|
|
|
ствует, т.к. угловая скорость системы Аху равна нулю (см. формулу
(3.9)).
Подчеркивания в системе векторных уравнений (3.6) и (3.7) показывают, что в ней четыре неизвестных. Значит она разрешима. Графическое решение этой системы не отличается от решения системы (3.1) и (3.2), поэтому ограничимся лишь указанием после-
довательности |
|
откладывания векторов на плане ускорений |
(рис. 3, в): |
|||||||||
π а = |
а |
А |
, |
an |
2 |
= |
a n |
, линия действия вектора |
а |
τ |
. Затем, |
|
|
|
|
|
|
C2 A |
|
|
С2 А |
|
|||
π k = |
aCко |
3р , |
линия |
действия вектора аС |
3 . Заметим , что при построе- |
|||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
нии цепочек |
векторов |
правой части уравнений (3.6) и |
(3.7) сначала |
|||||||||
откладывались |
|
векторы известные по величине и направлению, а за- |
||||||||||
тем проводились линии действия векторов, неизвестных по модулю.
Точку пересечения указанных линий действия обозначим |
через c2. В |
|||||||||||||||
результате получим: a |
C2 |
= π c |
2 |
, a τ |
= |
n |
2 |
c |
2 |
, |
а |
С2 3 |
= |
kc |
2 |
. Модули |
|
|
C2 А |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
искомых векторов определим по формуле: |
a = |
a |
а , |
м/с2. |
|
|
||||||||||