Файл: И.А. Паначев Рабочая программа, контрольные работы и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения (сокращенные сроки обучения на базе среднего спец. образования).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.06.2024
Просмотров: 188
Скачиваний: 0
58
осях координат (рис.12.3)
Очевидно, что точка пересечения нейтральной оси с осью Х имеет координаты аХ; 0 , а с осью Y - аY; 0. Подставляя последовательно эти координаты в выражение (12.5), получим
|
iy2 |
|
i2 |
|
||
ax = − |
|
, |
ay = − |
x |
. |
(12.) |
|
|
|||||
|
X p |
|
YP |
|
||
Знак (-) в формулах (12.6) означает, что нейтральная линия обязательно проходит через четверть, противоположную той, в которой находится точка приложения силы Р (рис.12.3).
12.1. Пример Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изо-
бражено на рис.12.4, сжимается продольной силой Р, приложенной в точке А.
Требуется: 1) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении, выразив эти напряжения через Р, и размеры сечения; 2) найти допускаемую нагрузку Р при заданных размерах сечения и допускаемых напряжениях для чугуна на сжатие [σ]C и на растяжение [σ]Р.
59
Дано: а = 5 см , в = 2 см , [σ]C = 150 МПа , [σ]P = 22 МПа.
Решение 12.1.1. Определим положение центра тяжести фигуры (рис.12.4) в
осях Х1 и Y1.
Разбиваем сечение на две фигуры и определяем положение точек О1 и О2.
|
|
|
∑Syi |
|
F X |
|
+ F X |
|
|
39,25 0 |
+ 20 |
3,12 |
|
|
X |
c |
= |
|
= |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
= |
|
|
|
=1,1см, |
∑F |
|
39,25 + 20 |
||||||||||||
|
|
|
F |
+ F |
|
|
|
|||||||
|
|
|
i |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
где Х1 = 0, Х2 = 3,12 см (см.рис.12.4) . |
|
|
|
|||||||||||
F |
|
= πd 2 = 3,14 102 |
= 39,25см2, |
|
|
|
||||||||
1 |
|
8 |
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
F = 2 10 = 20см2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как сечение имеет ось симметрии (ХС)(рис.12.4), то главными |
|||||||||||||||||
осями будут оси ХС, YC. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.1.2. Определим осевые моменты инерции ХС, YC : |
|
|
|||||||||||||||
|
4 |
|
|
b(2a)3 |
4 |
|
2 |
(2 5)3 |
|
|
|||||||
Ixc = Ix1 + Ix2 = 0,393 r |
|
|
+ |
|
|
|
|
= 0,393 5 |
|
+ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
12 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= 412,3см4 = 412,3 10−8 см4 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Iyc = Iy1 + b12 F1 + Iy2 + b2 |
2 F2 |
= 0,11 r4 +1,12 39,25 + |
2ab3 |
+ 2,022 20 |
= |
||||||||||||
12 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= 0,11 54 +1,12 39,25 + |
|
2 5 23 |
+ 2,022 20 = 204,6см4 = 204,6 10−8 см4, |
|
|||||||||||||
|
|
12 |
|
|
|||||||||||||
где b1 = 1,1 см; b2 = 2,02 см |
|
(см.рис.12.4). |
|
|
|
|
|||||||||||
12.1.3. Определим квадрат радиусов инерции сечения :
2 |
|
Ixc |
|
412,3 |
|
2 |
|
−4 |
|
2 |
|
|
ixc = |
|
= |
|
|
= 6,96см |
|
= 6,96 10 |
|
м |
|
, |
|
F |
59,25 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
i2yc = |
|
Iyc |
= |
204,6 |
|
= 3,45см |
2 |
= 3,45 10−4 м2. |
||||
|
F |
59,25 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
60
12.1.4. Определим положение нейтральной линии. Точка А имеет координаты хА = -3,98, yA = 0 (см.рис.12.4).
Рис.12.4. Схема поперечного сечения стержня
Отрезки, которые нейтральная ось отсекает на координатных осях:
axc = − |
|
iyc2 |
= − |
3,45 |
=0,87см, |
|||
|
X a |
−3,98 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
ayc = − |
ixc2 |
|
= − |
6,96 |
= ∞. |
|||
Ya |
|
0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Нейтральная ось пройдёт параллельно оси YC.
Наиболее удалённые точки от нейтральной линии – точка А, где наибольшие сжимающие напряжения, и точка В, где наибольшие растягивающие напряжения.
Координаты точек А(-3,98; 0), В(3,02; 0) (см. рис.12.4).
61
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
( −3,98 ) ( −3,98 ) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
p a |
|
|
|
XpXa |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
σ |
A |
= − |
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
= −0,094 P |
||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iy |
|
|
|
|
59,25 |
|
|
|
|
3,45 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
ix |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y |
Y |
|
|
X |
p |
X |
|
|
|
|
P |
|
|
( −3,98 ) 3,02 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
p |
|
b |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
σ |
B |
= − |
|
|
|
|
1 + |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
1 |
+ |
|
|
=0,042 P |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
59,25 |
|
3,45 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iy |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
ix |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
где X p и Yp – координаты полюса (точки приложения силы) (см.
рис.12.4).
Определяем допускаемую нагрузку P из условия прочности на сжатие и растяжение.
На сжатие |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,094P ≤[σ]c , |
|
|||||||
0,094P =150МПа. |
||||||||
Откуда |
|
|
|
103 |
|
|
|
|
Р = |
|
150 |
=159,6кН. |
|||||
0,094 104 |
||||||||
На растяжение |
|
|
||||||
|
0,042Р ≤[σ]р, |
|||||||
|
|
|||||||
Откуда |
|
0,042Р = 22МПа. |
||||||
|
|
|
103 |
|
|
|||
Р = |
22 |
|
= 53,4кН. |
|||||
|
0,042 104 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
Окончательно принимаем допускаемую нагрузку Р = 53,4 кН.
13. СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ КРУЧЕНИЯ И ИЗГИБА
На практике деформации кручения часто сопутствует изгиб. Например, совместное действие изгиба с кручением приходится учитывать при расчёте валов машин, испытывающих воздействие окружных
ирадиальных усилий. Сочетание изгиба с кручением имеет место в пространственных рамках, стержнях с ломаной осью, коленчатых валах
идругих конструкциях и элементах машин и механизмов.
При совместном действии изгиба и кручения в поперечных сечениях бруса действуют следующие внутренние силовые факторы: крутя-
62
щий момент МКР, изгибающий момент МИ и поперечная сила Q, которой однако обычно пренебрегают, ибо её касательные напряжения намного меньше касательных напряжений, вызванных крутящим моментом.
13.1. Определение эквивалентных напряжений при одновременном действии изгиба и кручения для бруса круглого поперечного сечения Рассмотрим брус круглого поперечного сечения, подвергнутый
кручению и изгибу (рис.13.1).
Выведем формулы для расчёта на изгиб с кручением, выразив действующие напряжения σИ и τК соответственно через величины изгибающих и крутящих моментов. При этом воспользуемся теорией наибольших касательных напряжений (III) и удельной потенциальной энергии формоизменения (IV), как наиболее употребительными в современных расчётах. В результате получаются удобные для практического использования формулы для определения диаметров валов.
Для круглого сечения наиболее напряжённой точкой является краевая точка А (рис.13.1), в которой оба напряжения – нормальное и касательное от крутящего момента – достигают наибольших значений, определяемых известными формулами
σи = |
М |
и = |
M x |
2 + M y |
2 |
(13.1) |
|
|
|
|
W |
, |
|||
|
W |
M кp |
|
|
|
||
|
τкр = |
. |
|
|
(13.2) |
||
|
Wp |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Причём осевой момент сопротивления WX и полярный момент сопротивления WP для круглого сечения имеют следующие значения :
|
|
63 |
|
|
|
|
W |
= W |
= W = πd3 |
= 0,1d3, |
|
||
x |
y |
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
= 2W |
= πd3 |
= 0,2d |
3. |
(13.3) |
|
p |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Условие прочности по теории наибольших касательных напряже-
ний
σэкв3 = |
σи |
2 +4τк |
2 ≤[σ]. |
(13.4) |
||
Учитывая формулы (10.1) и (10.2), получим |
|
|
||||
σэкв3 = |
Мх2 |
+ Мy2 + Мкр |
2 |
(13.5) |
||
|
W |
|
, |
|||
|
|
|
|
|
||
где эквивалентный (расчётный) момент по третьей теории прочности будет иметь следующий вид:
Мэкв3 = Мх |
2 + Мy |
2 + M кp |
2 . |
(13.6) |
Тогда условие прочности по третьей теории прочности будет иметь следующий вид :
σэкв3 |
= |
Мэкв3 |
≤[σ]. |
(13.7) |
|
W |
|||||
|
|
|
|
Аналогично получим формулы эквивалентного момента из условия прочности по четвёртой теории :
M экв4 = Мх |
2 + Мy |
2 +0,75M kp |
2 , |
(13.8) |
|||
σэкв4 |
= |
Мэкв4 |
≤[σ]. |
|
(13.9) |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
W |
|
|
|
13.2. Пример Шкив диаметром Д1 и с углом наклона ветвей ремня к горизонту α1
делает n оборотов в минуту и передаёт мощность N кВт. Два других