Файл: И.А. Паначев Рабочая программа, контрольные работы и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения (сокращенные сроки обучения на базе среднего спец. образования).pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 16.06.2024
Просмотров: 184
Скачиваний: 0
70
Рекомендуемые величины коэффициента запаса устойчивости ny
существенно зависят от материала стержня: для стали nу равен 1,5…3,0; для дерева 2,5…3,5; для чугуна 4,5…5,5.
Допускаемая сжимающая нагрузка из расчёта на устойчивость:
[Р]= |
Ркр |
. |
(14.2) |
|
|||
|
пу |
|
|
14.1.Формула Эйлера для определения критической нагрузки
Вобщем случае сжатого стержня критическое значение нагрузки может быть выражено, как
Pкр = |
π 2 |
ЕImin |
(14.3) |
|
(µl) |
||||
|
|
|||
где E – модуль упругости; Imin – наименьший из главных центральных моментов инерции сечения; l – полная длина стержня; µ – коэф-
фициент приведённой длины.
Величина коэффициента µ зависит от способа крепления торцевых
и промежуточных сечений стержня и для наиболее употребительных расчётных схем приведена в приложении.
Основная формула (14.3) для критического значения нагрузки справедлива только при статических нагрузках и при критических напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала стержня:
σкp = |
Pкp |
≤σобщ . |
(14.4) |
|
|||
|
F |
|
|
14.2. Определение критической силы за пределами пропорциональности. Формула Ясинского
Принимаем следующие обозначения:
i = imin = |
Imin |
, |
(14.5) |
|
F |
||||
|
|
|
наименьший радиус сечения стержня; µl – приведённая длина стойки;
71
λ = µl ,
imin
гибкость стержня.
Критические напряжения по Эйлеру:
σкр = Ркр = π 22E .
F λ
Обозначим через λпред гибкость стержня, для которого
(14.6)
(14.7)
критиче-
ское напряжение σкр равно пределу пропорциональности σпц:
λпред = |
π 2 |
Е |
. |
(14.8) |
|
σпц |
|||||
|
|
|
|||
Для стержней, у которых λ > λпред (для стали ст.3 λпред = 100), критическое напряжение σкр < σпц и для определения критической силы
справедлива формула Эйлера (14.3).
Для стержней, у которых λ < λпред, критические напряжения σкр > σпц, поэтому для определения критической силы нужно пользо-
ваться эмпирической формулой Ф.С. Ясинского : |
|
Ркр = F( a −bλ ), |
(14.9) |
где a и b – числовые коэффициенты, имеющие размерность напряжения (приложение п.5); F – площадь сечения стержня; λ – гибкость стержня, определяемая по формуле (14.6).
Обозначим через λ0 – гибкость стержней, для которых критическое напряжение σкр = a −b λ равно предельному напряжению при сжатии:
для пластичных материалов σкр = σт; |
|
для хрупких материалов σкр = σв. |
(14.10) |
Эмпирическая формула (14.9) используется для определения критической силы в случае стержней, гибкость которых заключена в интервале от λ0 до λпред (для стали ст.3.40 < λ < 100). Стержни, у которых λ < λ0, называются стержнями малой гибкости и рассчитываются только на прочность.
Значения коэффициентов a , b и значения гибкостей λпред, λ0 для некоторых материалов даны в приложении п.5.
72
14.3. Расчёт на устойчивость по коэффициенту понижения φ допускаемого напряжения на сжатие [σ]
Условие устойчивости сжатого стержня |
|
||
σ = |
p |
≤[σ]у, |
(14.11) |
|
|||
|
Fбр |
|
|
где Fбр – полная площадь поперечного сечения стержня (при расчёте на устойчивость местные ослабления сечения практически не изменяют величину критической силы); [σ] – допускаемое напряжение при расчёте на устойчивость, которое равно
[σ]у =ϕ [σ]с. |
(14.12) |
Значения коэффициента понижения φ, учитывающие запас устойчивости и зависящие от материала и гибкости стержня, приведены в приложении.
Расчётная формула на устойчивость имеет вид
F |
≥ |
Р |
(14.13) |
|
ϕ [σ] |
||||
бр |
|
|||
|
|
с |
|
|
Так как в формуле (14.13) два неизвестных – Fбр и φ, то подбор се-
чений ведут путём последовательных приближений, варьируя величину коэффициента φ. В первом приближении берут φ = 0,5…0,6. Определяют требуемую площадь Fбр и подбирают сечение. Подобранное сече-
ние проверяют и устанавливают фактическое значение ϕ1табл.
Если ϕ1табл значительно отличается от φ1, то и напряжение будет
отличаться от допускаемого. Тогда берётся другое приближение, в котором
ϕ2 |
= |
ϕ1 +ϕ1табл |
|
. |
|
(14.14) |
||||
|
|
2 |
|
|
|
|||||
В результате второго приближения определяют ϕ2табл. Если требу- |
||||||||||
ется третье приближение, то |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ϕ3 = |
ϕ |
2 +ϕ |
2табл |
. |
(14.15) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
2
И так далее, пока φ и ϕтабл не совпадут или будут отличаться в пределах 5%.
73
14.4. Пример
Стальной стержень длиной l сжимается силой P (рис 14.1). Требуется: 1) найти размеры поперечного сечения при допускае-
мом напряжении на простое сжатие [σ] = 160 МПа (расчёт производить последовательными приближениями, предварительно задавшись коэффициентом φ = 0,5); 2) найти критическую силу и коэффициент запаса устойчивости, если дано: Р = 200 кН; l = 2,2 м.
Решение
14.4.1. Первое приближение Зададим φ1 = 0,5.
По формуле (14.13) находим требуемую площадь поперечного сечения
F |
|
= |
|
Р |
|
= |
|
|
200 103 |
= 25 104 |
м2 . |
|
|
ϕ [σ]c |
0,5 160 106 |
||||||||||
бр |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
По приложению находим |
|
|||||||
|
F |
|
= F = a2 − |
(0,6a)2 = 0,64a2 , |
|
|||||||
|
бр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
imin =i = 0,289 |
|
a2 +(0,6a)2 = 0,337a. |
|||||||||
Следовательно, при |
|
F |
|
= 0,64а2=25·10-4, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
бр |
|
|
|
||
|
|
а = |
Fбр |
|
= |
|
25 104 = |
6,25 10−2 |
м, |
|||
|
|
|
|
0,64 |
|
|
|
0,64 |
|
|
||
i = 0,337а=0,337 6,25·10-2=2,11·10-2м.
По формуле (11.6) находим гибкость стержня
|
µl |
|
74 |
|
|
λ = |
= |
2 2,2 |
= 208,5, |
||
i |
2,11 10−2 |
||||
|
|
|
где µ = 2 (см. приложение).
По таблице приложения для λ = 208,5, ϕ1табл = 0 « φ1 = 0,5. 14.4.2. Второе приближение
|
|
|
ϕ2 = |
ϕ1 |
+ |
ϕ1табл |
= |
0,5 |
= 0,25 . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Необходимая площадь поперечного сечения |
|
||||||||||||||||
F |
= |
|
|
Р |
|
= |
|
200 103 |
|
|
|
= 50 10−4 |
м, |
||||
ϕ2 |
[σ]c |
0,25 160 106 |
|
||||||||||||||
бр |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
i =0,337а=0,337·8,84·10-2=2,98·10-2м. |
||||||||||||||||
Гибкость стержня: |
|
|
µl |
|
|
2 2,2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
λ = |
= |
|
|
|
=147,7 . |
|
|||||||
|
|
|
|
i |
|
2,98 10−2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
По приложению п.4, интерполируя, находим коэффициент
ϕ2табл = 0,36 − |
0,36 −0,32 |
7,7 = 0,33 >ϕ2 = 0,25. |
||||||||||||
|
|
10 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14.4.3. Третье приближение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ϕ3 = |
ϕ2 +ϕ2табл |
= |
0,25 + |
0,33 |
= 0,29. |
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычисляем необходимую площадь |
|
|
|
|
||||||||||
F |
= |
ϕ3 |
P |
= |
200 103 |
= 43,1 10−4 м, |
||||||||
бр |
|
[σ]c |
|
|
0,29 160 106 |
|
|
|||||||
а = |
|
Fбр = |
43,1 10−4 |
=8,21 10−2 м, |
||||||||||
|
|
0,64 |
|
|
0,64 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
i = 0,337а=0,337 8,21·10-2=2,77·10-2. |
|||||||||||||
Гибкость стержня |
λ = µl |
|
|
2 2,2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
= |
|
|
=158,8. |
|||||||||
|
|
2,77 10−2 |
||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||||||