Файл: В.Н. Ардеев Расчет элементов деревянных конструкций.pdf

13

3. РАСЧЕТ НА ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ

3.1. Общие сведения

Изгибаемые элементы - балки, прогоны, доски настилов и обшивок - наиболее распространенные элементы деревянных конструкций. В изгибаемом элементе от нагрузок, действующих поперек его продольной оси, возникают изгибающие моменты М и поперечные силы Q, определяемые методами строительной механики.

От действия изгибающего момента в сечениях элемента возникают напряжения изгиба, которые состоят из сжатия в верхней половине сечения и растяжения в нижней. В резуль-

Рис. 3.1. Схема изгибаемого элемента тате элемент изгибается. Изгибаемые элементы

работают еще более надежно, чем сжатые, и предупреждают об опасности разрушения заранее большими прогибами.

Изгибаемые элементы, как и сжатые, рекомендуется изготовлять из древесины 2-го сорта. В малоответственных элементах можно применять древесину 3-го сорта.

Изгибаемые элементы рассчитываются по первой и второй группе предельных состояний.

3.2. Расчетные формулы

3.1.1. Расчет по первой группе предельных состояний

1. Расчет изгибаемых элементов, обеспеченных от потери устойчивости плоской формы деформирования, на прочность по нормальным напряжениям следует производить по формуле

М/Wрасч ≤ Rи, (3.1)

где М - расчетный изгибающий момент; Rи - расчетное сопротивление изгибу; Wрасч - расчетный момент сопротивления поперечного сечения элемента.

14

Для цельных элементов Wрасч= Wнт. При наличии ослаблений в пределах длины равной 0,20 м в разных сечениях, при определении Wнт все ослабления на этой длине суммируются.

2. Расчет изгибаемых элементов на прочность по скалыванию следует выполнять по формуле

Q·Sбр/(Iбрbрасч) ≤ Rск, (3.2)

где Q - расчетная поперечная сила; Sбр - статический момент брутто сдвигаемой части поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси; Iбр - момент инерции брутто поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси; bрасч - расчетная ширина сечения элемента; Rск - расчетное сопротивление скалыванию при изгибе.

При высоте сечения h = <(Rск/ Rи)/l расчет на скалывание можно не проводить.

3. Расчет на устойчивость плоской формы деформирования изгибаемых элементов прямоугольного сечения следует производить по формуле

где М - максимальный изгибающий момент на рассматриваемом участке lр; Wбр - максимальный момент сопротивления брутто на рассматриваемом участке lр .

Коэффициент φм изгибаемых элементов прямоугольного поперечного сечения, шарнирно закрепленных от смещения из плоскости изгиба и закрепленных от поворота вокруг продольной оси в опорных сечениях, следует определять по формуле

где lр - расстояние между опорными сечениями элемента, а при закреплении сжатой кромки элемента в промежуточных точках от смещения из плоскости изгиба - расстояние между этими точками; b - ширина поперечного сечения; h - максимальная высота поперечного сечения на участке lр; kф - коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на участке lр, определяемый по табл. 3 прил. 4 [1].

Расчет на устойчивость плоской формы изгиба элементов прямоугольного сечения можно не проводить, если выполняется условие

15

4. Прогиб изгибаемых элементов следует определять по моменту инерции поперечного сечения брутто.

Наибольший прогиб шарнирно-опертых и консольных изгибаемых элементов постоянного и переменного сечений следует определять по формуле

где fo- прогиб балки постоянного сечения высотой h без учета деформаций сдвига; h - наибольшая высота сечения; l - пролет балки; k - коэффициент, учитывающий влияние переменности высоты сечения, 1 для балок постоянного сечения k = 1; с - коэффициент, учитывающий влияние деформаций сдвига от поперечной силы.

Значения коэффициентов k и с для основных расчетных схем балок приведены в табл. 3 прил. 4 [1].

Прогибы элементов зданий и сооружений не должны превышать величин, приведенных в табл. 16 [1].

При h<(1/20)l влияние деформаций сдвига можно не учитывать, принимая f=fo.

3.3. Рекомендации по подбору сечения

1. Подбор сечения изгибаемых элементов производят либо методом попыток, либо определением высоты сечений через расчетный изгибающий момент и расчетное сопротивление древесины изгибу, задавшись его шириной.

В первом случае, ориентируясь на рекомендуемые значения высоты сечения и на величину нагрузки, задаются размерами сечения, которое проверяют по формуле (3.1): М/Wрас ≤ Rи. Несоблюдение условия требует увеличения сечения, предпочтительно высоты. Большой запас несущей способности (более 20%) требует уменьшения размеров сечения. При назначении размеров сечения надлежит руководствоваться сортаментом пиломатериалов по ГОСТ 24454-80 (приложение I). Подбор сечения следует считать законченным, если различие между нормальным напряжением и расчетным сопротивлением не превышает 20% в сторону недонапряжения.

Во втором случае требуемую высоту сечения балки определяют, задавшись предварительно шириной сечения, по формуле (для прямоугольного сечения)

16

где Мрасч - изгибающий момент от расчетной нагрузки.

2.После выбора по сортаменту сечения определяют нормальные

напряжения и оценивают их величину в сопоставлении с Rи. Затем, если требуется, делают проверку на скалывание и устойчивость плоской формы деформирования и при несоблюдении этих условий увеличивают ширину сечения.

3.Проверку прогиба балок производят при действии нормативных нагрузок по формуле (1.2). Предельные значения прогибов следует делить на коэффициент надежности по ответственности γn.

4.При подборе сечений целесообразно использовать рекомендации, изложенные в книге [3] и приведенные ниже.

Наименьшую рекомендуемую высоту балки цельного сечения при полном использовании ее расчетной несущей способности (когда

σ=Rи/γn) можно получить, приняв прогиб балки равным предельному значению. Например, для балки с равномерно распределенной нагрузкой при полном использовании расчетной несущей способности минимальная высота, обеспечивающая ей необходимую жесткость, равна

при этом ширина сечения b=(6Mрасч/h2Rи)γn,

где l - расчетный пролет балки; к=5/24 - числовой коэффициент, зависящий от схемы нагрузки; γn - коэффициент надежности по ответственности здания; М - расчетный изгибающего момента от действия нормативных нагрузок; Е - модуль упругости древесины; γfср - отношение расчетной нагрузки к нормативной.

При действии на балку сосредоточенных нагрузок в этих формулах будет изменяться лишь числовой коэффициент. Так, для балки на двух опорах, нагруженной сосредоточенной нагрузкой по середине пролета, он будет равен 1/6, двумя сосредоточенными грузами в третях пролета - 23/108. Для балок-консолей, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, этот коэффициент равен 1/2, а для консолей, нагруженных сосредоточенным грузом на конце, - 2/3.

Минимальная рекомендуемая высота балки увеличивается с уменьшением предельного прогиба, а также с увеличением прочности материала балки.

17

3.4. Задание

Подобрать прямоугольное сечение балки и проверить его на прочность по скалыванию, устойчивость плоской формы деформирования и жесткость. Исходные данные взять из табл. 3.1, 2.1.

3.5. Пример расчета

Исходные данные. Однопролетная шарнирно опертая балка междуэтажного перекрытия из древесины пихты 1-го сорта. Балка имеет пролет l = 6 м и загружена двумя сосредоточенными силами в третях пролета. Величина нормативной и расчетной нагрузки: Рн = 3,7 кН; Р = 6,7 кН. Условия эксплуатации конструкции: класс ответственности здания III; температурно-влажностный режим здания А2; установившаяся температура воздуха 35оС; отношение постоянных и длительных нагрузок к полной <0,8.

Решение

1. Подберем сечения по прочности.

Расчетное сопротивление изгибу из табл. 3 [1] - Rи T= 15 МПа. Расчетное сопротивление скалыванию Rск T= 1,8 МПа. Определяем значение расчетного сопротивления с учетом коэффициентов условий работы и коэффициента надежности по ответственности.

Rи= Rи Т mTmв mДmn/γn = 13·1·1·1·0,8/0,9 = 13,33 МПа. Rск= RскТ mTmв mДmn/γn = 1,8·1·1·1·0,8/0,9 = 1,6 МПа.

Изгибающий момент от расчетной нагрузки М = Pl/3 = 6,7·6/3 = =13,4 кН·м = 0,0134 МН·м.

Задаемся шириной сечения b = 0,125 м. Требуемая высота сечения по формуле (3.7)

hтр = 6М расч / bRb = 6 0,0134/0,125 13,33 = 0,22 м.

18

Напряжение изгиба σи = M/W = 0,0134/1055 10-6 = 12,7 МПа < <Rи=13,33 МПа.

2.Так как высота сечения h = 0,225 < (Rск/ Rи)l =(1,6/13,33)6 = =0,72 м, то расчет на скалывание можно не проводить.

3.Расчет на устойчивость плоской формы деформирования можно не проводить, так как балки междуэтажного перекрытия имеют сплошное раскрепление верхней сжатой зоны досками настила.

4.Проверка прогиба.

Так как h = 0,225 < l/20 = 0,30 м, при определении прогиба деформации сдвига не учитываем.

Момент инерции I = bhз/12 =0,125·0,2253/12 = 11865·10-8 м4.

Модуль упругости Е = 104 МПа.

Относительный прогиб f/l= (1/20,8) РнI2/(EI) = (1/20,8) 0,0037 62/ /(1 104·11865·10-8) =1/185 = [f/lγn] = 1 /(250·0,9) >1/225.

Необходимо увеличить сечение для обеспечения жесткости. Принимаем по сортаменту ближайшее большее сечение b х h =

=0,125 х 0,25 м.

Момент инерции I = bhз/12 =0,125·0,253/12=16276·10-8 м4. Относительный прогиб f/l= (1/20,8) РнI2/(EI) = (1/20,8) 0,0037 62/

/(1 104·16276·10-8) =1/254 < [f/l](1/γn)=(1/250)(1/0,9) = 1/225.

5. Наименьшую рекомендуемую высоту балки цельного сечения при полном использовании ее расчетной несущей способности можно получить, приняв прогиб балки равным предельному по формуле (3.8).

h = 5Rиl/(24γf.срE[f/l]) = 5·1,33·6/(6,7/3,7)·10000(1/250) = 0,235 м,

при этом ширина сечения

b = 6Mрасч/h2Rи.= 6·0,0134·0,9/(0,2352·13,33) = 0,111 м.

Принимаем по сортаменту ближайшее большее сечение b х h = =0,125 х 0,25 м. Как видим, мы получили тот же результат.

19

Исходные данные к заданию по подбору сечения изгибаемого элемента

*БМП – балка междуэтажного перекрытия; БЧП - балка чердачного перекрытия; ПП – прогон покрытия.

**q – равномерно распределенная нагрузка; Р – сосредоточенная сила в середине пролета; 2Р – сосредоточенные силы в третях пролета.