Файл: Левитов Л.С. Шитов А.В. Функция Грина Задачи с решениями (2002).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 825

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

376 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш

дМС ДПЛБЪБФЕМШУФŒБ УППФОПЫЕОЙС (12.54) ХНОПЦЙН МЕŒХА Й РТБŒХА ЮБУФЙ (12.52) ОБ |Aj |2ei—’j (x). рПМБЗБС — = 1, РТЙИПДЙН Л (12.54).

тЕЫЕОЙЕ 78. тБУУНПФТЙН ТБУУЕСОЙЕ ОБ ЪБŒЙУСЭЕН ПФ ŒТЕНЕОЙ ФПЮЕЮОПН РПФЕОГЙБМЕ, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ РТЕДУФБŒМЕОЙЕН ЛЙТБМШОЩИ ЖЕТНЙПОПŒ, ПФДЕМШОП ДМС ЛБЦДПЗП ЛБОБМБ ТБУУЕСОЙС. зБНЙМШФПОЙБО, ЪБРЙУБООЩК ЮЕТЕЪ ПРЕТБФПТЩ j1(k) ЗБТНПОЙЛ РМПФОПУФЙ РТБŒЩИ ЮБУФЙГ, ЙНЕЕФ ŒЙД

 

0

 

 

 

 

 

 

H = 2ıvF

 

j1

(k)j1

(−k) + we‚tj1

(x = 0)

:

(12.77)

k>

рЕТŒЩК ЮМЕО (12.77) РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ЛЙОЕФЙЮЕУЛХА ЬОЕТЗЙА (12.27), Б ŒФПТПК | РПФЕОГЙБМ ТБУУЕСОЙС, ŒЛМАЮБЕНЩК УП УЛПТПУФША ‚.

уŒСЦЕН БНРМЙФХДХ ŒПЪНХЭЕОЙС w Œ (12.77) У ЖБЪПК ТБУУЕСОЙС ‹l. тБУУНПФТЙН ДМС ЬФПЗП ПДОПНЕТОЩК ЙДЕБМШОЩК ЖЕТНЙ-ЗБЪ Œ РМБŒОП НЕОСАЭЕНУС ЬМЕЛФТПНБЗОЙФОПН

ÐÏÌÅ:

1

 

 

 

 

j1(x)a(x; t)dx

(12.78)

Hint = −c

 

 

 

 

a(x; t)dx

рПМЕ РТЙМПЦЕОП Œ ОЕВПМШЫПК ПЛТЕУФОПУФЙ x = 0, РТЙЮЕН ЕЗП РПФПЛ ˘(t) =

РМБŒОП НЕОСЕФУС ЛБЛ ЖХОЛГЙС ŒТЕНЕОЙ РП ЪБЛПОХ e‚t. лŒБЪЙЛМБУУЙЮЕУЛЙК ОБВЕЗ ЖБЪЩ, ŒПЪОЙЛБАЭЙК ВМБЗПДБТС a(x; t), ДБЕФУС НОПЦЙФЕМЕН exp(2ıi˘(t)=˘0), ÇÄÅ ˘0 = hc=e.

лŒБОФПŒПНЕИБОЙЮЕУЛБС ЖБЪБ ТБУУЕСОЙС ‹l Œ ЛБОБМЕ У ХЗМПŒЩН НПНЕОФПН l ПРТЕДЕМСЕФУС У РПНПЭША БУЙНРФПФЙЛЙ ŒПМОПŒПК ЖХОЛГЙЙ: (r) sin(kr + ‹l + ıl). йЪ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС ŒЙДОП, ЮФП ЙЪНЕОЕОЙЕ ПФОПУЙФЕМШОПК ЖБЪЩ ТБУУЕСООПК Й РБДБАЭЕК ŒПМО РТЙ ŒЛМАЮЕОЙЙ ТБУУЕСОЙС ЕУФШ 2‹l. уТБŒОЙŒБС У ЖБЪПК, ŒПЪОЙЛБАЭЕК Œ РПМЕ a(x; t), ОБИПДЙН

2ı ˘(t) = ˘0 2‹le‚t :

(12.79)

рПДУФБŒМСС ЬФП УППФОПЫЕОЙЕ Œ (12.78) Й ŒЩТБЦБС ФПЛ ЮЕТЕЪ РМПФОПУФШ РП ЖПТНХМЕ

 

 

, РПМХЮБЕН ŒФПТПК ЮМЕО ЗБНЙМШФПОЙБОБ (12.77). рТЙ ЬФПН w = −2‹lhv— F .

j1 = evF j1

 

оБКДЕН ЙОФЕЗТБМ РЕТЕЛТЩФЙС УПУФПСОЙС Œ НПНЕОФ t = 0 У ЙУИПДОЩН УПУФПСОЙЕН

|0 , ЙНЕŒЫЙНУС РТЙ t = −∞. рЕТЕЛТЩФЙЕ УПУФПСОЙК, ЪБРЙУБООПЕ Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС, ЕУФШ

K‚

= 0|T exp −i

0

H~int(t) dt |0 ;

 

 

(12.80)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−∞

 

 

 

 

 

 

ÇÄÅ

 

j~1(x; t)x=0 ;

j~1(x; t) = e

 

j~1(x)e

 

:

(12.81)

Hint(t) = we

 

~

‚t

 

 

 

iH0t

 

−iH0t

 

 

рПМШЪХСУШ УППФОПЫЕОЙСНЙ (12.16), ŒЩТБЪЙН РМПФОПУФШ j1(x) ЮЕТЕЪ ВПЪЕ-ПРЕТБФПТЩ bk

É bk+, Й РЕТЕКДЕН Œ РТЕДУФБŒМЕОЙЕ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС:

 

 

 

 

 

j~1(x; t) = k>0(–k L)−1 eikx−iv|k|tbk + e−ikx+iv|k|tbk+

(12.82)

12.6. теыеойс

377

рТЙ ЬФПН ЗБНЙМШФПОЙБО ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС (12.81) ПЛБЪЩŒБЕФУС МЙОЕКОЩН РП ВПЪЕПРЕТБФПТБН, ЮФП ДЕМБЕФ ЪБДБЮХ ХУТЕДОЕОЙС ЬЛУРПОЕОФЩ (12.80) ŒЕУШНБ РТПУФПК. пФНЕФЙН, ЮФП ЙНЕООП ОБ ЬФПН ЫБЗЕ УФБОПŒЙФУС ПЮЕŒЙДОЩН РТЕЙНХЭЕУФŒП ВПЪПОЙЪБГЙЙ РП УТБŒОЕОЙА У РТСНЩН ŒЩЮЙУМЕОЙЕН.

оБКДЕН УТЕДОЕЕ ПФ ЬЛУРПОЕОФЩ (12.80), РПМШЪХСУШ РТБŒЙМПН ЗБХУУПŒБ ХУТЕДОЕОЙС Й ФЕПТЕНПК œЙЛБ:

−∞

 

−∞

j~1(x; t)j~1(x; t ) x=0e‚(t+t )dt :

 

K‚ = exp −w2

0

dt

t

(12.83)

уПЗМБУОП (12.16) ЙОФЕТЕУХАЭЙК ОБУ ЛПТТЕМСФПТ ŒЕМЙЮЙО j~1(x; t)x=0 ÅÓÔØ

 

j~1(0; t)j~1(0; t ) =

0

 

 

 

k>

e−i|k|v(t−t )−a|k|=–k2L :

(12.84)

 

 

 

 

 

 

 

 

рПДУФБŒМСС (12.84) Œ (12.83) Й ŒЩЮЙУМСС ЙОФЕЗТБМЩ РП t Й t, ОБИПДЙН

 

K‚ = exp

w2

 

k

e−ak

:

(12.85)

 

 

0

2ı (‚ + ikvF )2‚

 

 

 

 

−

k>

 

 

рТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЙОФЕЗТБМБ (12.85) ПУФБŒМСЕН ФПМШЛП ŒЕЭЕУФŒЕООХА ЮБУФШ, РПУЛПМШЛХ ПФОПУЙФЕМШОБС ЖБЪБ ОБЮБМШОПЗП Й ЛПОЕЮОПЗП УПУФПСОЙК ОБУ ОЕ ЙОФЕТЕУХЕФ. тЕЪХМШФБФ

ÅÓÔØ

−4ı k>

k vF

+ ‚

 

 

−2ı

 

‚a

 

 

w2

0

ke

ak

 

 

‹2

v

 

 

 

−

 

 

 

2 ln

F :

(12.86)

K‚ = exp

 

 

2 2

 

2

= exp

 

пУФБЕФУС ФПМШЛП ЪБНЕФЙФШ, ЮФП a ≈ vF =EF , Й ЮФП ŒЛМБДЩ Œ K‚ ПФ ЛБОБМПŒ ТБУУЕСОЙС У ТБЪМЙЮОЩНЙ ЪОБЮЕОЙСНЙ УРЙОБ Й ХЗМПŒПЗП НПНЕОФБ ЖБЛФПТЙЪХАФУС. рТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ОЕЪБŒЙУЙНЩИ ŒЛМБДПŒ ТБЪМЙЮОЩИ ЛБОБМПŒ ДБЕФ ЖПТНХМХ (12.55).

тЕЫЕОЙЕ 79. œЕТПСФОПУФШ РПЗМПЭЕОЙС ЖПФПОБ, УПЗМБУОП ĂЪПМПФПНХ РТБŒЙМХĄ,

ЪБРЙУЩŒБЕФУС Œ ŒЙДЕ

$

up(!) f |ap+b|i $

 

‹(! − !0 − Ef ) ;

(12.87)

W (!) = 2ı

2

 

$

$

 

 

 

 

$

$

 

 

 

f

p

 

 

 

 

ÇÄÅ a+p | ПРЕТБФПТ ТПЦДЕОЙС ЬМЕЛФТПОБ У ЙНРХМШУПН p Œ ЪПОЕ РТПŒПДЙНПУФЙ, b | ПРЕТБФПТ ТПЦДЕОЙС ДЩТЛЙ (ХОЙЮФПЦЕОЙС ЬМЕЛФТПОБ) ОБ ŒОХФТЕООЕК ПВПМПЮЛЕ БФПНБ, up(!) | ДЙРПМШОЩК НБФТЙЮОЩК ЬМЕНЕОФ, !0 | РПТПЗ РПЗМПЭЕОЙС, ТБŒОЩК УХННЕ НЙОЙНБМШОПК ЬОЕТЗЙЙ ŒЩВЙФПЗП ЬМЕЛФТПОБ EF Й ЬОЕТЗЙЙ ПВТБЪПŒБОЙС ДЩТЛЙ E0. уХННЙТПŒБОЙЕ Œ (12.87) РТПЙУИПДЙФ РП ЙНРХМШУБН p ЬМЕЛФТПОБ, РПРБДБАЭЕЗП Œ ЪПОХ РТПŒПДЙНПУФЙ, Б ФБЛЦЕ РП ŒУЕН ЛПОЕЮОЩН УПУФПСОЙСН |f УЙУФЕНЩ У ДПВБŒМЕООЩНЙ ЬМЕЛФТПОПН Й ДЩТЛПК. оБЮБМШОПЕ УПУФПСОЙЕ |i РТЕДУФБŒМСЕФ УПВПК ПУОПŒОПЕ УПУФПСОЙЕ ЙДЕБМШОПЗП ЖЕТНЙ-ЗБЪБ.

рТЕПВТБЪХЕН ŒЩТБЦЕОЙЕ (12.87), ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ УППФОПЫЕОЙЕН

2ı

f

‹(! − !0 − Ef ) |f f | =

∞ e−iHsct+i(!−!0)tdt ;

(12.88)

 

 

 

−∞

 

 

378 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш

ÇÄÅ | ЗБНЙМШФПОЙБО ЖЕТНЙ-ЗБЪБ Œ РТЙУХФУФŒЙЙ ТБУУЕЙŒБАЭЕЗП ГЕОФТБ, ИБТБЛФЕ-

Hsc

ТЙЪХАЭЕЗПУС ЖБЪБНЙ ТБУУЕСОЙС ‹l. рТЕОЕВТЕЗБС ЪБŒЙУЙНПУФША НБФТЙЮОПЗП ЬМЕНЕОФБ up(!) ПФ !, ЪБРЙЫЕН (12.87) Œ ŒЙДЕ

−∞

 

 

 

 

W (!) = A ∞ i|b+

exce−iHsc

exc+ b|i ei(!−!0)tdt ;

(12.89)

ÇÄÅ exc+ (r) = A−1=2 p upa+p e−ipr | ПРЕТБФПТ ТПЦДЕОЙС ЬМЕЛФТПОБ Œ УПУФПСОЙЙ У ХЗМПŒЩН НПНЕОФПН j, МПЛБМЙЪПŒБООПН Œ ПЛТЕУФОПУФЙ ФПЮЛЙ r = 0, ЗДЕ РТПЙУИПДЙФ РПЗМП-

ЭЕОЙЕ ЖПФПОБ. (ъДЕУШ A = p |up|2 | ОПТНЙТПŒПЮОЩК НОПЦЙФЕМШ.)

фЕРЕТШ ХДПВОП ЙЪВБŒЙФШУС ПФ УПУФПСОЙК ДЩТЛЙ, ЪБНЕОЙŒ b+b ОБ 1. рПМХЮБЕН

 

−∞

i

 

t

 

i

 

t

 

i ! !

)t

 

 

W (!) =

∞

 

 

Hsc

+

dt :

(12.90)

 

Tr e H0

 

exce−

 

exc

e ( − 0

 

рТЙ ЪБРЙУЙ (12.90) НЩ ŒПУРПМШЪПŒБМЙУШ ФЕН, ЮФП ДМС ЗБНЙМШФПОЙБОБ УЙУФЕНЩ Œ

H0

ПФУХФУФŒЙЕ ТБУУЕСОЙС (‹l = 0) ЙУИПДОПЕ УПУФПСОЙЕ |i СŒМСЕФУС УПВУФŒЕООЩН.

фЕРЕТШ ВПЪПОЙЪХЕН ЪБДБЮХ ФБЛ ЦЕ, ЛБЛ ЬФП ВЩМП УДЕМБОП Œ ЪБДБЮЕ 78. рТЙ ЬФПН ЗБНЙМШФПОЙБО ЕУФШ УХННБ ОЕЪБŒЙУЙНЩИ ŒЛМБДПŒ ЛБОБМПŒ У ТБЪМЙЮОЩНЙ l:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hsc = l

Hl :

 

 

 

 

(12.91)

зБНЙМШФПОЙБО Hl, ПРЙУЩŒБАЭЙК ТБУУЕСОЙЕ Œ ЛБОБМЕ У ХЗМПŒЩН

НПНЕОФПН l, НПЦЕФ

(l)

(k) УМЕДХАЭЙН

ВЩФШ ЪБРЙУБО

ЮЕТЕЪ ЗБТНПОЙЛЙ РМПФОПУФЙ ЛЙТБМШОЩИ ЖЕТНЙПОПŒ j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПВТБЪПН:

Hl = 2ıvF

 

(l)

(l)

 

‹l

(l)

(l)

 

(12.92)

 

k>0 %j1

(k)j1

(−k) − ı

j1

(k) + j1

(−k) & :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

œ ŒЩТБЦЕОЙЙ (12.92) ХЮФЕОБ УŒСЪШ НЕЦДХ ЖБЪПК ТБУУЕСОЙС Й ЛПОУФБОФПК УŒСЪЙ Œ ВПЪПОЙЪПŒБООПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ФПЮЕЮОПЗП ТБУУЕСОЙС, ОБКДЕООБС Œ ЪБДБЮЕ 78.

пРЕТБФПТ ТПЦДЕОЙС ЬМЕЛФТПОБ Œ ВПЪПОЙЪПŒБООПН РТЕДУФБŒМЕОЙЙ ЪБРЙУЩŒБЕФУС УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

+

= (2ıa)−

1=2 i’

(x)

|l=j;x=0

:

(12.93)

exc

e 1

 

пВТБФЙН ŒОЙНБОЙЕ ОБ ФП, ЮФП ПРЕТБФПТ + ДЕКУФŒХЕФ ОЕФТЙŒЙБМШОП ФПМШЛП Œ ЛБОБМЕ

exc

У l = j, Б Œ ПУФБМШОЩИ ЛБОБМБИ ПО ДЕКУФŒХЕФ ЛБЛ ЕДЙОЙЮОЩК ПРЕТБФПТ. рПДЙОФЕЗТБМШОПЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ (12.90) ЕУФШ РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ŒЛМБДПŒ ЛБОБМПŒ У ТБЪМЙЮ-

ОЩНЙ l. тБУУНПФТЙН УОБЮБМБ l = j. œ ЬФПН УМХЮБЕ, РТЙНЕОСС ДПЛБЪБООПЕ Œ ЪБДБЮЕ 77 ФПЦДЕУФŒП ei—’1(x)j1(k)e−i—’1(x) = j(1l)(k) + —e−ikx Ó — = −‹l =ı Й x = 0, ОБИПДЙН:

ei—’1(x) e−i—’1(x)

H0

= H0

+ 2ıvF k>0

−ı j1

(k) + j1

(−k) + ıl2

 

:

(12.94)

 

 

‹

 

 

‹2

 

 

 

 

 

l

(l)

(l)

 

 

 

 

12.6. теыеойс

379

рТБŒБС ЮБУФШ ЬФПЗП ŒЩТБЦЕОЙС, У ФПЮОПУФША ДП ОЕУХЭЕУФŒЕООПК ЛПОУФБОФЩ 15, ÅÓÔØ

. уДЕМБООПЕ ОБВМАДЕОЙЕ РПЪŒПМСЕФ РЕТЕРЙУБФШ ŒЛМБД -ЗП ЛБОБМБ Œ ŒЩТБЦЕОЙЕ

Hl l

(12.90) УМЕДХАЭЙН ПВТБЪПН:

Tr e

 

e

 

= e

−i´lt

e

 

e

e

 

e

 

= e

−i´lt

e

 

(t)

e

 

(0)

;

(12.95)

 

iH0t

 

−iHlt

 

 

iH0t

 

i—’1

−iH0t

 

−i—’1

 

 

i—’1

 

−i—’1

 

 

ÇÄÅ — = −‹l =ı, ’1(t) = ’1(x; t)x=0. юФПВЩ ŒЩЮЙУМЙФШ УТЕДОЕЕ Œ (12.95), РТЙŒЕДЕН РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ПРЕТБФПТПŒ Л ОПТНБМШОП-ХРПТСДПЮЕООПК ЖПТНЕ. ьФП ОЕФТХДОП УДЕМБФШ, ŒПУРПМШЪПŒБŒЫЙУШ ФПЦДЕУФŒПН вЕКЛЕТБ{иБХУДПТЖБ:

ei—’1(t)e−i—’1(0)

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

= ei—(’1(t)−’1(0))+ —2 [’1(t);’1(0)]

=

 

 

B =

–k bk (e−ikvF t − 1) e−a|k|=2

:

 

 

 

 

 

 

= e—B

+

 

—B —2

B+;B

]+[

’ t ;’

 

 

e− e 2 ([

 

 

( )

(0)]);

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k>

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

œЩЮЙУМСС УТЕДОЕЕ, РПМХЮБЕН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

‹2

a

 

 

 

 

 

 

(0) = exp ıl2

ln a + ivF t

:

 

 

 

ei—’1(t)e−i—’1

 

(12.96)

рТЙ ВПМШЫЙИ t ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ ŒЕДЕФ УЕВС ЛБЛ t−‹l2=ı2 .

фЕРЕТШ ТБУУНПФТЙН ДЙОБНЙЛХ Œ ЛБОБМЕ У l = j. рПМШЪХСУШ ФЕН ЦЕ НЕФПДПН, ЮФП Й ŒЩЫЕ, ОБИПДЙН ŒЛМБД ЬФПЗП ЛБОБМБ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.97)

Tr eiH0tei’1 e−iHlte−i’1

= eiH0tei(1+—)’1 e−iH0te−i(1+—)’1 ;

ÇÄÅ — = −‹j =ı. œ ТЕЪХМШФБФЕ ŒЩРПМОЕООПЗП РТЕПВТБЪПŒБОЙС ПРЕТБФПТЩ e±i’1 ХДПВОП ЛПНВЙОЙТХАФУС У e±i—’1 . дБМШОЕКЫЙЕ ŒЩЮЙУМЕОЙС ОЙЮЕН ОЕ ПФМЙЮБАФУС ПФ УМХЮБС l = j, У ФПЮОПУФША ДП ЪБНЕОЩ — → 1 + — = 1 − ‹j =ı. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕН

 

 

− ı

2 ln

a + iv

t

 

 

1

‹j

F

 

(12.98)

exp

a

:

œЩЮЙУМСС РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ŒЛМБДПŒ ŒУЕИ l У ХЮЕФПН ЛТБФОПУФЙ 2l + 1 ПТВЙФБМШОПЗП ŒЩТПЦДЕОЙС Й ДŒХЛТБФОПЗП УРЙОПŒПЗП ŒЩТПЦДЕОЙС, РПМХЮБЕН УМЕДХАЭЕЕ ŒЩТБЦЕОЙЕ:

 

 

a + ivF t

 

l

 

 

 

W (!) = A2

∞

a

1−2‹j =ı+2

(2l+1)‹l2=ı2

ei(!−!0)tdt :

(12.99)

−∞

рПЛБЪБФЕМШ УФЕРЕОЙ ЕУФШ ОЕ ЮФП ЙОПЕ ЛБЛ 1 + ˛. рТЙ ŒЩЮЙУМЕОЙЙ ЙОФЕЗТБМБ РП t ЪБНЩЛБЕН ЛПОФХТ Œ ŒЕТИОЕК ЙМЙ ОЙЦОЕК РПМХРМПУЛПУФЙ ЛПНРМЕЛУОПЗП t, Œ ЪБŒЙУЙНПУФЙ

15тПМШ ЬФПК ЛПОУФБОФЩ, ŒЕМЙЮЙОБ ЛПФПТПК ЕУФШ ´l = 2ıvF ‹l2=ı2, УŒПДЙФУС Л ОЕВПМШЫПНХ

k>0

УДŒЙЗХ РПТПЗБ РПЗМПЭЕОЙС !0.

380 змбœб 12. впъпойъбгйс й мбффйоцетпœулбс цйдлпуфш

ПФ ЪОБЛБ ! − !0. œ ТЕЪХМШФБФЕ РПМХЮБЕН ЙУЛПНПЕ УППФОПЫЕОЙЕ W (!) (! − !0)˛ ÐÒÉ ! > !0 É W (!) = 0 ÐÒÉ ! < !0.

тЕЫЕОЙЕ 80 Б. уОБЮБМБ ОБКДЕН ЗТЙОПŒУЛХА ЖХОЛГЙА G0j (x; t) Œ ПФУХФУФŒЙЙ ŒЪБЙНПДЕКУФŒЙС ДМС РТБŒЩИ ЮБУФЙГ: j = 1. иПД ŒЩЮЙУМЕОЙС ОБРПНЙОБЕФ РТЕПВТБЪПŒБОЙС, РТПДЕМБООЩЕ ŒЩЫЕ РТЙ РТПŒЕТЛЕ ЛПННХФБГЙПООЩИ УППФОПЫЕОЙК. уОБЮБМБ РТЕПВТБЪХЕН РТПЙЪŒЕДЕОЙЕ ПРЕТБФПТПŒ Œ (12.50) У РПНПЭША ФПЦДЕУФŒБ вЕКЛЕТБ{иБХУДПТЖБ (12.35):

ei’j (x;t)e−i’j (0;0) = ei’j (x;t)−i’j (0;0)e 21 [’j (x;t);’j (0;0)] :

(12.100)

фЕРЕТШ ОПТНБМШОП

ХРПТСДПЮЙŒБЕН ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ, ЕЭЕ ТБЪ РТЙНЕОСС ФПЦДЕУФŒП

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(12.35), Й ŒЩЮЙУМСЕН ЛПННХФБФПТЩ, РПМШЪХСУШ (12.36):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

([B+

 

 

 

 

 

ei’j (x;t)e−i’j (0;0) = e−B+ eB e 21

;B]+[’j (x;t);’j (0;0)]) =

 

 

 

 

B+

 

B

 

e−ak

ik(x vt)

 

 

 

 

= e−

 

e

 

 

0

k (e

 

−

(12.101)

 

 

 

 

exp 2ı

 

 

− 1) ;

 

 

 

 

 

 

 

k>

 

 

 

 

 

–k bk eikx−kvF t − 1 :

 

 

 

 

 

 

B = k>0

 

 

0

 

 

(12.102)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

уХННБ Œ ЬЛУРПОЕОФЕ, ЛБЛ ВЩМП ОБКДЕОП Œ (12.44), ЕУФШ ln a=[a − i(x − vt)] . рПДУФБŒМСЕН ТЕЪХМШФБФ Œ (12.50), ХУТЕДОСЕН РП ПУОПŒОПНХ УПУФПСОЙА, Й РПМХЮБЕН

G10

(x; t) = (2ı)−1 a

 

1

 

vt)

;

a → 0 :

(12.103)

−

i(x

−

 

 

 

 

 

 

 

дЕКУФŒХС БОБМПЗЙЮОП, ОБИПДЙН

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

a → 0 :

 

G20

(x; t) = (2ı)−1 a + i(x + vt)

;

(12.104)

тБЪХНЕЕФУС, ФПЮОП ФБЛЙЕ ЦЕ ŒЩТБЦЕОЙС НПЦОП РПМХЮЙФШ РТСНЩН ŒЩЮЙУМЕОЙЕН У РПНПЭША ŒФПТЙЮОП-ЛŒБОФПŒБООЩИ ЖЕТНЙЕŒУЛЙИ ПРЕТБФПТПŒ.

рЕТЕКДЕН Л ŒЩЮЙУМЕОЙА ЖХОЛГЙЙ зТЙОБ ŒЪБЙНПДЕКУФŒХАЭЙИ ЖЕТНЙПОПŒ. œТЕНЕООБС ЪБŒЙУЙНПУФШ ПРЕТБФПТБ ’j (x; t) НПЦЕФ ВЩФШ РПМХЮЕОБ ЙЪ (12.29), (12.30), (12.31). хРТПУФЙН ЪБДБЮХ, УЮЙФБС ЛПОУФБОФЩ УŒСЪЙ g1 É g2 ОЕЪБŒЙУСЭЙНЙ ПФ k ŒЕМЙЮЙОБНЙ. рТЙ ЬФПН ХЗПМ „ Œ РТЕПВТБЪПŒБОЙЙ вПЗПМАВПŒБ (12.29) ЕУФШ ЛПОУФБОФБ.

рТЕПВТБЪХЕН ПРЕТБФПТЩ bk , b+k Œ (12.36) У РПНПЭША УППФОПЫЕОЙК (12.29). рТЙ ЬФПН ПРЕТБФПТ ЖБЪЩ РТБŒЩИ ЮБУФЙГ ’1(x; t) РТЙПВТЕФБЕФ ŒЙД:

i k>0

–k e−ak 0e−ikx[ch „ ~bk+(t) − sh „ ~b−k (t)] − eikx[ch „ ~bk (t) − sh „ ~b−+k (t)]1

;

(12.105)

 

 

 

 

~k ( ) = −i!k t~k , ~+ ( ) = i!kt~+ , Á k ДБЕФУС (12.31). рПУМЕ РЕТЕЗТХРРЙТПŒЛЙ ЗДЕ b t e b b−k t e b−k !

УМБЗБЕНЩИ ЬФП ŒЩТБЦЕОЙЕ НПЦОП ЛПНРБЛФОП ЪБРЙУБФШ ФБЛ:

’1(x; t) = ch „ ’~1(x; t) − sh „ ’~2(x; t) :

(12.106)

Смотрите также файлы