Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл (12,43Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 934

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

118 ГЛ III ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ

Пусть теперь ротор турбины с произвольным числом лопаток заторможен, и пусть суммарное пространство между всеми лопат-

ками		составляет объем W. Если поток стационарен, скорости г»1
и	v2	во всех межлопаточных пространствах одинаковы по модулю
и	для	всех межлопаточных пространств углы ах	и а2 одинаковы,
то формула (ПО) с обратным знаком определяет			дополнительный

тормозящий момент, который должен быть приложен сверх

момента М0объеМ Д л я того, чтобы

удержать

ротор турбины от вра-

щения. Этот момент, добавленный к Л1Ообъем. определяет

угловое

ускорение ротора. Формула

(ПО) была

получена Эйлером и назы-

вается

турбинной формулой Эйлера.

Реактивное движение. Рассмотрим

объем

движущийся

поступательно относительно

инерциальной

системы

х,

у,

так,

z ,

что траектории

всех его точек

явля-

ются прямыми,

снова

будем

счи-

тать

проток

стационарным.

Пусть

главный

вектор

внешних

сил

/?„

неш

и скорости

1>при„

и ©у х о д

притока

оттока

вещества

направлены

вдоль

"йти 'х1

траектории

движения

(рис.

II 1.25).

Неинерциальную

систему

координат

х' у У'>z>

закрепим

на оболочке

объе-

ма

W, так

что в этой

системе W не-

Рис. III25.

подвижен. Поэтому в системе W вер-

но соотношение (88). В

рассматривае-

мом случае Укор = 0 (подвижная система

x',y',z'

движется

посту-

пательно), Jmp

= — Mv, где

о —ускорение

движения

объема W

относительно

инерциальной системы

х,

у,

г.

Поскольку

силу

стационарности

процесса dQw/dt = O, формула (106) принимает вид

(в действительности

здесь фигурируют скалярные величины, ибо

по условию Ь, /?

внеши

/?д о п

направлены по

одной прямой — траек-

тории движения).

формуле

(111)

М— масса, заключенная в объеме W,

— п о -

стоянна

по условию

стационарности

потока,

а дополнительная

сила равна

*^доп =

/уход~г/прих = = М- (^прих

®уход)>

где скорости vnpm

и ©уХОД берутся по отношению к системе отсчета,

связанной с объемом

Таким образом, в прямолинейном поступательном

движении

оболочка

W, через которую

осуществляется

стационарный

проток

вещества,

движется

тек,

как двигалась

бы

материальная

точка,

часса

которой

равна

массе вещества

объеме

W и на

которую

§9 ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ПЕРЕМЕННОГО СОСТ \В \

119

помимо приложенных сил действовала бы еще дополнительная


сила /?доп.				этого параграфа рассмотрим движение				ракеты
	В заключение			этого параграфа рассмотрим движение				ракеты
на	активном прямолинейном				участке	траектории	(рис.	II1.26).
В	качестве объема			W рассмотрим
объем, ограничен! ый внешней обо-
лочкой корпуса ракеты и срезом
сопла. Предположим, что процесс
горения топлива протекает доста-
точно медленно			и что поэтому на
интересующем нас интервале вре-
мени скорость			движения центра
инерции		масс,		расположенных
внутри		ракеты,		относительно ее
корпуса		пренебрежимо мала			по			У
сравнению со скоростью самой ра-
кеты. Рассматривая разгон ракеты
на прямолинейном активном участ-						Рис.	III 26.
ке траектории,			пренебрежем		вра-

щением ракеты относительно собственных осей, т. е. предположим,

что

ракета

движется

поступательно.

Условия

внутри

корпуса

ракеты

заведомо

нестационарны

хотя бы

потому,

что для ракеты

/прих = 0.

а /умяф0

и, следо-

вательно, /„рих т^/уход-

Однако

интервале

времени,

малом по

сравнению

с периодом

сгорания

всего

топлива,

можно считать

условия внутри ракеты мало отличающимися от

стационарных

(это

утверждение называют

«гипотезой

квазистационарности»).

Приняв эту гипотезу, можно воспользоваться формулой

(111).

Для

ракеты

" д о п =

где

©уход—скорость

газов,

вылетающих

из сопла, относительно

корпуса

ракеты,

а |л = (хуход = — dM/dt,

так что

уход*

(112)

'•*в

Это уравнение

называется уравнениемМещерского. Оно описывает

поступательное

движение ракеты

на

прямолинейном

активном

участке траектории.

Если

разгон

ракеты

происходит

в условиях,

когда

можно

пренебречь

воздействием

на нее

внешних сил (например, вдали

от каких-либо

центров тяготения

и вне

атмосферных

оболочек),

и если ууход = const = ы, то формулу		(112)	можно переписать так-
, , dv	dM	. . .	, , ,

М j t = — и d( , или М dv = — и dM

120		ГЛ III ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
(знак		минус стоит здесь	потому, что при разгоне	ракеты скоро-
сти	а	и v направлены противоположно).
	В	этом уравнении переменные разделяются: dv = — u(dM/M),
и,	проинтегрировав обе		части этого равенства от	значения пере-

менных в некоторый начальный момент до их значения в конечный момент, когда заканчивается горение топлива, мы получим

f к— vH = — и (In Мк — In Мн),

или

(113)

Формула (113) называется формулой Циолковского.

Г л а в а IV

КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ (УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА)

§ 1. Общие представления о ковариантных формах уравнений движения

Движение системы,	состоящей	из N	материальных	точек,
в инерциальной системе	отсчета, в соответствии со вторым			зако-
ном Ньютона, описывается дифференциальными уравнениями
m/n^F,	(i = l,	2, ...,	N),	(!)

где силы Fi — функции от радиусов-векторов точек г, скорости г и времени t.

Введем прямоугольную декартову систему координат и спроектируем уравнения (1) на оси этой системы; тогда система дифференциальных уравнений, определяющих изменение декартовых координат точек во времени, представится в виде

mixl = Ftx, m,yt = Fty, т&^Рц (/ = 1, .... N). (2)

Если была бы выбрана не прямоугольная, а какая-либо косоугольная система прямолинейных координат, то дифференциальные уравнения в скалярной форме (в проекциях на оси) по-преж-

нему имели бы вид (2), но функции Fixy Fiy, Fiz, стоящие в правых частях этих уравнений, соответственно изменились бы. Таким

образом, при замене прямоугольной системы на косоугольную меняется вид функций, входящих в уравнения (2), но не меняется вид этих уравнений.

Разумеется, уравнения (1) можно заменить соответствующими скалярными соотношениями, выписанными в цилиндрических, сферических или каких-либо иных координатах (см. гл. I). Для этого достаточно выразить радиус-вектор г, например, через цилиндрические координаты, вычислить вторую производную от радиусавектора и произвести соответствующие преобразования аргументов функций Ft. Конечно, уравнения, которые получаются непосредственно в результате таких подстановок, уже не будут представлены в форме, алгебраически разрешенной относительно вторых производных «новых», например, цилиндрических координат и, следовательно, по внешнему виду не будут совпадать с уравнениями (2). Кроме того, выведенные таким образом уравнения

122	ГЛ IV КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
в цилиндрических и		сферических координатах будут отличаться
одни от	других.
До сих пор речь		шла о преобразованиях координат, не зави-

сящих от времени. Рассмотрим теперь переход от декартовой

системы координат х, у, z к другой декартовой системе*', у',								г',
равномерно движущейся				относительно нее. Если в момент t—-Q
эти	системы совпадали, то
где	г	и г' —радиусы-векторы точки в системе х,					у, z и х', у', г'
соответственно; v = const. Поэтому r' — r-\-v и г'							—г.
	Если система		х, у, г	инерциальна, то уравнение (1) в коорди-
натах		х', у', z' имеет вид
		mir'i-	Ft (r' -	vt, r' -v,	0 = F't (r',	r',	t),	(3)
т. е.		при таком	преобразовании		координат	не	изменился	вид