ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 938
Скачиваний: 3
138 ГЛ IV КОВЛРИЛНТН\Я ФОРМА УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ
возведении в квадрат членов, стоящих в формуле (35) под знаком суммы по /). Таким образом, выражение для кинетической энергии после перехода к «новым» координатам может быть представлено в виде
Т = 71в + Г1 + 7 |
2 , |
(36) |
где |
|
|
|
|
|
|
1 |
ж ' |
•• |
|
|
|
(39) |
причем вформуле (39) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
В силу формул (40) коэффициенты |
ajk, |
|
вообще говоря, яв- |
||||||
ляются функциями как координат q}, так и |
времени /, потому |
|||||||||
что от этих переменных |
зависят г,, а значит, и частные |
произ- |
||||||||
водные, фигурирующие |
в выражении (40). |
|
|
|
||||||
|
Обратим теперь внимание |
на то, что как в выражении (37), |
||||||||
так |
и в выражении (38) каждый член содержит множитель dri/dt, |
|||||||||
равный |
нулю, когда преобразование (9) стационарно, т. е, когда |
|||||||||
все rt |
не |
зависят явно от t. |
Поэтому |
в стационарном |
случае |
|||||
из |
формул |
(37) и (38) |
следует, что То |
и Тг |
|
равны нулю, а из |
||||
формулы (40) следует, что коэффициенты alk |
в этом случае неза- |
|||||||||
висят от t |
и являются функциями только координат qt. |
/ |
||||||||
|
Таким образом, в стационарном случае, т. е. в случае, когда |
|||||||||
время не входит явно в формулы (9), |
кинетическая энергия Т |
|||||||||
является однородной квадратичной формойотносительно qt с коэф- |
|
фициентами, зависящимитолько от координат qt. |
|
Рассмотрим теперь структуру |
лагранжиана L. По определе- |
нию L = T — V. В общем случае |
|
в случае, когда преобразования |
(9) стационарны, |
L = Tt-V(q, 0;.
если же, кроме того, система является консервативной, то
L = TS-V(<7).
Мы докажем теперь теорему, которая по праву может быть названа основной теоремой лагранжева формализма, так как она полностью решает вопрос, поставленный в начале параграфа, —
§ 3. ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА |
139 |
|||
в какой мере лагранжев формализм обеспечивает |
определение |
|||
движения по информации о состоянии системы |
в некоторый мо- |
|||
мент. Эта теорема |
будет играть |
существенную |
роль |
в дальней- |
шем изложении. |
|
|
|
|
Т е о р е м а 1. |
Определитель, |
составленный |
из коэффициентов |
|
ctjk (q, t), отличен |
от нуля при любых q и t: |
|
|
|
|
deti|a,ft|£ft = 1 # O . |
|
(41) |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . Напомним, что по определению «новые» координаты q-i, ... . qn независимы. Все ЗА/ функций
Xi=fi(q, /), |
yi=<$i{q, |
t), Zi^Tjpi{q, t) |
(i = 1, ... , N) |
|||
определены в любой момент t, коль |
скоро заданы q. При я = ЗА/ |
|||||
все эти функции |
независимы. Если |
же n<.3N, |
то по предполо- |
|||
жению (см. стр. 125) среди этих |
функций содержится п незави- |
|||||
симых функций. |
Условие |
того, |
что среди |
этих |
ЗА/ функций со- |
|
держится п независимых, |
состоит в том,что ранг матрицы Якоби |
|||||
dXi
'" dqn
'" dqn
dz\
'"dq'n
(42)
dxN . . . ^
dZ dyN
dcj\ dz лт
do i
равен п. Следовательно, равен п и ранг матрицы
|
dqi |
Vm\ |
dq'n |
У mi |
| i ... |
Ут~ f^ |
|
^ |
i • Ущ dzl |
||
|
|
|
(43) |
У7Г d*N |
N |
dxN |
|
|
dqi |
|
|
|
|
|
|
|
dy MJ |
|
dyN |
m j v |
~dq[ ''' |
V mN |
dqn |
1к
dq. dqn
140 ГЛ IV КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ
которая отличается от матрицы (42) тем, чтовсе элементы пер-
вых трех |
строк умножены на Утъ |
следующих трех строк на |
|
\fm2 |
и т. д. Введем вектор-столбец ult компоненты которого сов- |
||
падают с элементами г-гостолбца матрицы (43). Из того факта, |
|||
что |
ранг |
матрицы (43) равен п, |
сразу следует, что векторы |
«!, |
... , и„ линейно независимы. |
|
|
Условие линейной независимости п векторов И/ состоит в том, что составленный из нихопределитель Грама х) отличен от нуля,
т. е. |
|
|
|
|
Ф0. |
ипих ип |
и2 ... |
ипип |
Но |
|
|
N |
|
N |
и п \ т (dXi dXi J_ ду* ду' |
_Lд2' dZi |
\ \ m d r i df'1 |
т. е. в соответствии с равенством(40)
Щ ' Uh — Cljk-
Поэтому
det||ayA||;jft = 1 ^ O .
Теорема доказана.
Вернемся теперь к уравнениям Лагранжа в форме (22) (все дальнейшее верно также и дляуравнений Лагранжа, записанных для движений в потенциальных полях в форме (29)).
Вспоминая, чтов любом случае кинетическая энергия может быть представлена в виде (36), т. е. в виде суммы форм нулевой, первой и второй степени от ц,, представляем левую часть урав-
нений Лагранжа (22) в виде |
суммы трех |
выражений, которые |
||
получаются |
при подстановке в эту левую |
часть сначала Г2, за- |
||
тем 7\ и, наконец, То. |
|
|
|
|
Подставляя в левую |
часть |
уравнений |
(22) вместо Т квадра- |
|
тичную форму Т^, получаем |
|
|
||
d дТг дТ2 |
d у |
\у da |
ask |
|
|
|
|
Щ7 |
|
s, *
1 ) Определителем Грама, составленным из п векторов, называется определитель, элементами которого являются попарные скалярные произведения этих векторов; подробнее см., например, Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц . — 3-е изд., исправл — М . : Наука, 1967, с. 226.
§ 3 ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА |
|
141 |
|||||||||
Условимся обозначать символом |
(*) совокупность |
членов, не со- |
|||||||||
держащих вторых производных от координат qk. |
Заметим, далее, |
||||||||||
что производные |
от коэффициентов aJk |
как по |
t, |
так |
и по q |
||||||
не содержат вторых |
производных от обобщенных координат. Если |
||||||||||
силы, действующие на точки системы, зависят лишь |
от времени, |
||||||||||
координат точек и их скоростей |
|
(см. гл. II), то обобщенные силы, |
|||||||||
стоящие в правых |
частях |
уравнений (22), могут |
зависеть лишь |
||||||||
от времени, координат q и их |
|
первых |
производных. |
Поэтому |
|||||||
результат подстановки в уравнения (22) |
вместо |
Т квадратичной |
|||||||||
формы Г2 можно представить следующим образом: |
|
|
|||||||||
S |
ty*?* = W |
|
(/ = 1, 2, .... п). |
|
(44) |
||||||
k = |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вернемся теперь |
к уравнениям |
(22) и подставим |
в них вместо |
||||||||
Т линейную форму |
7\. Легко |
видеть, что |
выполнение всех опе- |
||||||||
раций, указанных в левой части уравнений (22), |
не может при- |
||||||||||
вести к появлению |
членов, |
содержащих |
вторые |
производные |
|||||||
от координат q. Поэтому |
результатом этой подстановки будет (+). |
||||||||||
Это тем более будет |
выполняться |
при подстановке |
в уравнения |
||||||||
(22) вместо Т члена То, не содержащого производных q. Отсюда следует, что в любом случае уравнения Лагранжа (22) сводятся к виду (44).
Теперь мы воспользуемся доказанной выше теоремой. Из нее сразу следует, что уравнения (44) можно разрешить относительно вторых производных qk, т. е. представить в виде
|
qj = |
Gj(q,q,t) |
|
(/ = 1, 2, ... ,ф, |
^ |
|
(45) |
|
а это как раз и |
значит, |
что |
уравнения |
Лагранжа |
сводятся |
|||
к форме Коши и что для них задание начальных данных |
(в ко- |
|||||||
личестве, соответствующем |
порядку системы) полностью опреде- |
|||||||
ляет решение |
при |
обычных |
и |
не стеснительных |
для |
механики |
||
ограничениях, |
наложенных |
на правые части |
уравнений. |
В этом |
||||
смысле уравнения Лагранжа удовлетворяют условиям детерминизма движения, о котором шла речь в начала этого параграфа.
Обращаясь к уравнениям (45), мы устанавливаем также, что каждое из этих уравнений является уравнением второго порядка, число же их равно п. Следовательно, общий порядок системы уравнений Лагранжа (22) (легко видеть, что все это верно и для
уравнений, |
представленных в форме (29)) равен 2/г. Поэтому для |
||
того, чтобы |
определить движение, нужно |
задать 2/г начальных |
|
данных. Этими начальными данными являются |
значения п коор- |
||
динат <7it • • •. Qn и п скоростей q^ ..., |
qn |
в начальный момент |
|
Неопределим теперь, как изменяется полная энергия системы
E = T-\-V, если движение системы описывается уравнениями