Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Функция L(q, q, t), равная разности кинетической и потенциальной энергии системы после преобразования их к «новым» координатам, является функцией «новых» координат, их производных и, быть может, времени.

Функция эта носит название функции Лагранжа, лагранжиана или кинетического потенциала системы. Таким образом, в случае движения в потенциальных полях уравнения Лагранжа имеют более простой вид (29) и содержат только одну функ- цию—лагранжиан системы, вид которой зависит от выбора системы координат.

В этом случае, в силу линейности всех операций, с которыми свя-

где Q* = — dV/dqj — потенциальные части обобщенных сил, опре-

где функция L по-прежнему определяется формулой (30).

Для того чтобы выписать уравнения Лагранжа для некоторой конкретной системы, нужно произвести следующие операции.

1.Выбрать систему независимых координат qlt ... , qn, в которых хогят записать уравнения движения.

2.Найти обобщенные силы так, как это было описано в предыдущем параграфе. Если исходные силы Fi были функциями координат точек системы или их скоростей, то при вычислении обобщенных сил нужно выразить декартовы координаты точек и

их производные через «новые» координаты qt и их производные с помощью формул (8) и (11).

3. Вычислить кинетическую энергию системы как функцию «новых» координат q(, скоростей cji и, быть может, t. Чтобы найти

134 ГЛ IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

ее, часто оказывается удобным вычислить сначала кинетическую энергию системы в декартовых координатах, а затем перейти от декартовых координат и их производных к «новым» координатам, используя уравнения преобразования (8). При этом дифференцирование осуществляется по формулам (11), т. е. учитывается зависимость и от явно входящего времени.

4. Произвести указанные в формулах (22) частное и полное дифференцирование, т. е. подставить полученные выше выражения для кинетической энергии и обобщенных сил в уравнения Лагранжа.

Если движение происходит в потенциальном поле, надо не вычислять обобщенные силы, а составить выражение для потенциальной энергии системы, и затем, используя формулы (8), подставить в него декартовы координаты точек как функции «новых» координат. После этого надо найти кинетическую энергию так, как это было указано выше, и, снова Еыразив декартовы координаты и их производные через «новые» координаты, выписать лагранжиан, т. е. разность кинетической и потенциальной энергий. Найденный таким образом лагранжиан подставляется в уравнения (29).

Указанную выше последовательность действий, позволяющую для любой системы координат, действуя стандартным образом,

Выражая скорости vt и v2 через полярные координаты, получаем

поэтому кинетическая энергия системы в «новых» (в данном примере в полярных) координатах равна

= у (

Подставив STO выражение кинетической энергии и выражения обобщенных сил (33) в уравнения Лагранжа (22), после выпол-

136 ГЛ IV КОВЛРПАНТНАЯ ФОРМ\ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

§3. Исследование уравнений Лагранжа

Сточки зрения классической механики движение системы материальных точек вполне детерминировано. Это значит, что

если известно, как изменяются и от чего зависят действующие в системе силы или каковы потенциальные поля, в которых происходит движение, то информация о состоянии системы в некоторый момент вполне определяет все движение в будущем. Этот детерминистский подход четко прослеживается в том случае, когда уравнения движения для системы материальных точек записываются в форме Ньютона (2).

Действительно, если силы, стоящие в правых частях уравнений (2), не зависят от ускорений точек, то система, представленная в форме (2), разрешена относительно старших производных. Для систем такого рода (систем типа Коши) в теории дифференциальных уравнений установлены теоремы существования и единственности решения при заданных начальных данных. Эти теоремы утверждают, что при некоторых нестеснительных для механики ограничениях, наложенных на правые части дифференциальных уравнений, существует решение этих уравнений, причем задание начальных данных — координат qf и скоростей qf, число которых соответствует порядку системы, —полностью определяет это реше^ ние, т. е. в нашем случае —последующее движение.

Обратимся теперь к уравнениям Лагранжа в форме (22) (либо в форме (29)). После подстановки в левые части этих уравнений выражений для кинетической энергии Т (или лагранжиана L) и соответствующих дифференцирований получаются уравнения, уже не обязательно разрешенные относительно старших производных. Может случиться, что некоторые (или все) из этих уравнений содержат не одну, а несколько (или все) старших производных от обобщенных координат qj.

Естественно возникает вопрос: всегда ли можно разрешить уравнения Лагранжа относительно старших производных от обобщенных координат <jy, т. е. представить эти уравнения в форме Коши и, следовательно, применить к ним теорему

которые входят в уравнения Лагранжа, —кинетической энергии Т и лагранжиана L как функций координат q, скоростей q и времени. Эти две функции играют столь важную роль во всем последующем изложении, что выявление их структуры существенно и само по себе.

является суммой квадратов скоростей v{ с постоянными коэффициентами /П;/2. Рассмотрим, как изменится выражение Т при переходе к «новым» координатам qx, ... , qn.

Коль скоро выбраны координаты q, все декартовы координаты точек выражаются через эти координаты и, быть может, время. Поэтому радиус-вектор любой точки системы также является функцией координат q и времени,

ri-=rt(q, t).

Дифференцируя это равенство по времени, получаем

что дает

2?(£2$У <35>

Из формулы (35) непосредственно видно, что в выражение для кинетической энергии входят члены, не содержащие q (они получаются от возведения в квадрат частной производной от rt по явно входящему времени), члены, содержащие первые степени q (они получаются при подсчете удвоенных произведений указанной выше производной по явно входящему времени на остальные члены, стоящие в формуле (35) под знаком суммы по /), и, наконец, члены, квадратичные относительно q (они получаются при