Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

130 ГЛ. IV. КОВЛРИЛНТНЛЯ ФОРМА УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ

перемещениях этих точек вдоль их траекторий. Иначе говоря, дифференциалы drt были не произвольными бесконечно малыми приращениями векторов rh а удовлетворяли следующему условию: конец вектора /*,- описывает траекторию i-й точки. В данной главе понятие элементарной работы имеет иной смысл: здесь мы предполагаем, что dr{ — независимые бесконечно малые приращения радиуса-вектора г,-, не ограниченные условием движения точки вдоль траектории. Элементарная работа всех сил системы, подсчитанная для произвольных независимых приращений drt при t = const, называется виртуальной работой и обозначается 8Ае. Поэтому формулу (24) можно записать так:

Выражение (25) по своей структуре напоминает исходное определение элементарной работы, но только вместо дифференциалов радиусов-векторов в нем стоят дифференциалы «новых» координат &fy, а вместо сил — множители Qyj кроме того, суммирование ведется не по всем точкам системы, а по всем «новым» координатам. Таким образом, виртуальную работу всех сил, действующих на систему, можно выразить в «новых» координатах, но при этом роль сил играют множители Qj, определенные формулами (23). Поэтому множители Qj называются обобщенными силами.

Сделаем теперь несколько замечаний по поводу понятия обоб-

то преобразование (8) будет тождественным преобразованием декартовых координат в себя и, как легко видеть, обобщенные силы в силу формул (23) будут совпадать с проекциями сил на оси:

Ql = Fix, Qi = Fly, Qa = Лг» • • • . Qn-2 = FNX, Qn-1 — FjVy, Qn — FNz.

З а м е ч а н и е 2. Размерность обобщенной силы, вообще говоря, не совпадает с размерностью силы. Из формулы (25) ясно, что размерность обобщенной силы Q/ равна размерности работы, деленной на размерность координаты qt. Если координата qt имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы. В тех случаях, когда координатой qy является угол, размерность обобщенной силы совпадает с размерностью момента силы.

3 амечание 3. При практическом подсчете обобщенных сил часто бывает проще не пользоваться формулой (23), а использовать тот факт, что новые координаты q являются независимыми, и фиксировать все координаты, кроме какой-либо одной коорди-

Вкачестве . примера рассмотрим

Для подсчета обобщенных сил дадим сначала приращения 8r = 8qlt Scp = 0. Тогда 8Ar = F cosaSr и, следовательно,

т. е. обобщенной силой для полярного угла q$ ярляется модуль момента силы F относительно начала координат О

Непосредственно ясно, что всегда, когда обобщенная координата q является плоским углом, соответствующая сила Q будет проекцией главного момента на ось, перпендикулярную плоскости угла q. Действительно, элементарная работа сил системы при повороте вокруг оси равна произведению элементарного угла поворота на сумму моментов всех приложенных сил относительно оси, перпендикулярной плоскости, в которой происходит поворот.

в выражении (27)совпадает с частной производной dV/dqj. Поэтому