Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

156 ГЛ. IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Поэтому реакции идеальных связей могут не учитываться при подсчете обобщенных сил Q/. Если же система содержит неидеальные связи, то соответствующие «неидеальные составляющие» их реакций должны быть отнесены к приложенным силам и учтены при подсчете обобщенных сил Q/. Зависимость «неидеальных составляющих» реакций связей от обобщенных координат, скоро* стей или от времени определяется, исходя из физической природы этих сил так же, как и для приложенных сил F{.

При наличии механических связей, как и при отсутствии их, уравнения Лагранжа имеют одинаковый вид при любом выборе обобщенных координат. Число уравнений Лагранжа равно числу

мальными реакциями и вообще подсчетом реакций в случае, когда трение отсутствует, является одним из важных преимуществ применения лагранжева формализма к механическим системам со связями.

В том случае, когда исследуемая система не содержит механических связей, нестационарность преобразований (8) возникает

физики выяснилось удобство этого формализма в связи с ковариантной формой уравнений Лагранжа для описания движений и в тех случаях, когда связи отсутствуют.

§ 5. Некоторые обобщения

В этом параграфе рассматриваются два обобщения, связанные с использованием лагранжева формализма. Первое обобщение получается введением понятия «обобщенный потенциал» и позво-

ральных динамических систем и с возможностью при построении новых (неклассических) механик аксиоматически вводить в рассмотрение уравнения Лагранжа в форме (29) с лагранжианом L, уже не обязательно равным разности кинетической и потенциальной энергии.

1. Обобщенный потенциал. Напомним читателю, что обобщенные силы Qj называются потенциальными, если существует функция от обобщенных координат и времени V (q, t) такая, что

бы ни были новые (обобщенные) координаты, тоже потенциальны. При таком определении потенциальных сил обобщенные силы, зависящие от обобщенных скоростей, уже не могли бы быть потенциальными и при их наличии нельзя было бы использовать уравнения Лагранжа в форме (29). Между тем можно определить понятие потенциальной обобщенной силы так, чтобы уравнения Лагранжа в форме (29) оказались пригодными для описания движений некоторых важных систем при наличии сил, зависящих

от скоростей.

Условимся теперь называть обобщенные силы обобщенно потенциальными в том случае, когда существует функция V* от обобщенных скоростей q, обобщенных координат q и времени / такая, что

Функция V* (q, q, t) называется обобщенным потенциалом. В том случае, когда функция V* не зависит явно от q, так что dV*/dcji = O, формула (64), очевидно, сводится к (63), обобщенный потенциал обращается в обычный, а обобщенно потенциальные силы —в обычные потенциальные.

Из равенства (64) следует, что

-2

где (*) —совокупность членов, не содержащих q'. Будем предполагать, как и ранее, что приложенные силы не зависят от ускорений материальных точек, так что и обобщенные силы Q/ не зависят от обобщенных ускорений q. Отсюда сразу следует, что

Qf — (*).т- е. что d2V*/dq, dqk — O, а это означает, что обобщенный потенциал представляет собой линейную функцию относительно обобщенных скоростей, т. е. имеет вид

где Vo и Ац ..., Ап —функции только от q и t. Подставляя это выражение в формулу (64), получаем

Если обобщенный потенциал V* стационарен, т. е. не зависит явно от t, то все dAj/dt — 0 и Q,- представимы в виде

где Q;-j= — dV0/dqj —потенциальные силы, соответствующие потенциальной энергии Vo, a

вую часть уравнений Лагранжа (22). Тогда уравнения Лагранжа примут вид

где

(67)-

Функцию L* естественно назвать обобщенным лагранжианом.

160 ГЛ IV КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

где е — заряд, с —скорость света, V* — скалярная функция, определяемая формулой

В этом выражении скалярная функция qp(x, у, г) и вектор-функ- ция А (х, у, г) — характеристики поля (так называемые скалярный и векторный потенциалы).

Непосредственно видно, что

Пример 2. Покажем теперь, что сумма переносных и корио-

лисовых сил инерции всех точек системы всегда имеет обобщенный потенциал.

динамики) может быть использован и в неинерциальной системе

нат принять относительные («греческие») координаты неинерциальной системы. Заданное переносное движение определяет тогда все функции /,-, ф,- и %, т. е. преобразование (8) «новых» («гре-

1 ) Для системы, состоящей из N материальных точек, все проводимые далее выкладки усложняются лишь суммированием по всем точкам системы.