Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

166 ГЛ. IV КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

требование (78) является аналогом основной теоремы и гарантирует, что при априорном задании лагранжиана в форме, отличной от разности L = T — V, будет сохранена возможность однозначного определения движения по начальным данным.

Условимся далее в этой книге системы, для которых L подсчитывается как Т — V, называть натуральными системами,

а системы, для которых L вводится аксиоматически как-либо иначе, — ненатуральными системами. В гл. VII, посвященной исследованию движения в потенциальных полях, все изложение

требование (78) и поэтому начальные данные полностью определяют движение.

Г л а в а V

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

§1. Элементарные сведения по динамике твердого тела

Впредшествующих главах движение системы материальных точек рассматривалось чаще всего в предположении, что оно не стеснено какими-либо связями, и только в конце предыдущей главы было показано, каким образом можно аналогично исследовать движение системы со связями. В этой главе рассматривается один важный частный случай наложения связей; изучается движение твердого тела, т. е. системы, состоящей из любого (конечного или бесконечного) числа материальных точек, движу-

тому при отсутствии внешних неголономных связей изучение движения твердого тела сводится к изучению движения системы, состоящей из любого числа материальных точек с голономными связями.

Прежде чем приступить к изучению законов движения систем такого рода, напомним читателю некоторые элементарные сведения, относящиеся к движению твердого тела. Предполагается, что эти сведения известны читателю (например, из общего курса физики), но тем не менее стоит напомнить их, прежде чем приступить к изложению более глубоких результатов.

1° С твердым телом может быть связанагеометрическая твердая среда (см. гл. I), т. е. система отсчета. Поэтому все кинематические соотношения, полученные в гл. I для движения одной системы отсчета относительно другой, полностью применимы и к движению твердого тела относительно какой-либо системы отсчета, не связанной с телом. В частности, при движении тела в каждое мгновение существует вектор угловой скорости о такой, что скорости точек тела распределены по закону t^ = ©д+ <*> XОд.

(сил тяжести), пропорциональных массам частиц тела, и следовательно, его положение определяется по той же формуле, что и положение центра инерции тела.

При движении твердого тела движение его центра тяжести описывается теоремой о движении центра инерции:

тело представляет собой систему со связями, однако доказатель-

помещенном в конце книги и посвященном теории скользящих векторов.

Вторая сумма представляет собой кинетическую энергию движения тела по отношению к системе координат, движущейся поступательно с точкой О'. Обозначим ее через Т%>.

Третью сумму можно преобразовать так:

У] mtVo' • Vio- = v0- • 2 т&ю' = Mv0- • Vco-,

где ©се— скорость центра инерции в относительном движении. Поэтому при произвольном выборе точки О'

Если же выбрать точку О' в центре инерции С, то Vco' = 0 и

(6)

х) Теорема Кёнига верна и для общего случая произвольной системы материальных точек. Однако она, как правило, используется приподсчете кинетической энергии твердого тела и поэтому излагается в этой главе.