Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

162ГЛ. IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Для того чтобы найти V* как функцию I, т), £, | , ц, £, и ^, вспомним, что

(72)

где ©л и ю являются заданными функциями времени, а р — радиусвектор в греческой системе.

Обозначая через /, j и k орты греческой системы и раскрывая векторное произведение юхр, получаем

Подставляя (72) в (71) и учитывая (73), получаем

у * = _ т [(vAl -f £cun -

1(оц)Ц. (74)

Используя это, можно по формуле (70) полностью определить кинетическую энергию как функцию «новых» (относительных) координат и скоростей.

Для подсчета обобщенных сил надо в формуле Для элементарной работы

8A F

выразить Ьх, Ьу и бг через «новые» координаты 6£, 8г\ и б£. Оператор б не включает дифференцирования функций, определяющих преобразования координат, по явно входящему времени t. В рассматриваемом случае это означает, что в формулах преобразования следует положить ©л = const и co= const, т. е. при подсчете элементарной работы неинерциальную систему следует считать остановленной. Но тогда

т. е. обобщенные силы соответственно равныг ) F$, Fn и Fz. Если ввести обозначения

через «новые» (относительные) координаты |, т), J и скорости |, rj, \,

Левые части этих уравнений совпадают с левыми частями уравнений Лагранжа, которые составил бы наблюдатель, находящийся в неинерциальной (греческой) системе, а обобщенные силы

пас вновь к уравнениям Ньютона для неинерциальной системы отсчета:

ml = F| + ^пер% + Лор 5>

Ч = « t) " T -/пер т] ~Г •'корТ1>

/пер Е+ Ук о р ;.

Рассмотренный пример поучителен в том отношении, что он разъясняет два пути, которыми мог бы воспользоваться «неинерциальный наблюдатель» для того, чтобы составить уравнения Лагранжа, описывающие наблюдаемое им относительное движение.

Первый путь. «Неинерциальный наблюдатель» мог бы и в более сложном случае (например, при наличии механических связей) рассуждать так, как это делали мы выше в разобранном примере. 11менно, он мог бы, составив полную кинетическую энергию (is абсолютном движении!), выразить ее через «свои» относительные координаты и скорости (рассматривая переносные скорости своей» системы как заданные функции времени!) и воспользоваться затем уравнениями Лагранжа в их обычной записи. На

164 ГЛ IV. КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

этом пути не требуется вводить какие-либо силы инерции —наобо- рот, лагранжев формализм сам вводит их и устанавливает их обобщенно потенциальный характер.

Второй путь. «Неинерциальный наблюдатель» мог бы с самого начала добавить к исходным (приложенным) силам переносные и кориолисокы силы инерции. Относительные скорости, входящие в выражения для кориолисовых сил, рассматривались бы

движения и если обобщенные силы подсчитываются, исходя из виртуальных перемещений в относительном движении». Поэтому такой наблюдатель мог бы сразу выписать уравнение Лагранжа в «своей» системе отсчета, подсчитывая кинетическую энергию через «свои», т. е. относительные скорости. Но при подсчете обобщенных сил ему пришлось бы принять во внимание и работу сил инерции на виртуальных перемещениях в относительном движении.

Разумеется, оба пути в конечном итоге приводят к одинаковым результатам. Выбор более удобного пути в каждом конкретном случае зависит от особенностей решаемой задачи.

2. Натуральные и ненатуральные системы. Введя понятие об обобщенном потенциале, мы сделали важный шаг в расширении класса систем, для которых ковариантные уравнения движения могут быть записаны в форме, содержащей только одну функцию, зависящую от Еыбора системы отсчета, —ее лагранжиан.

До сих пор в основе всех наших рассуждений лежали некоторые исходные представления, играющие во всем последующем построении роль аксиом. Мы постулировали, в частности, второй закон Ньютона и при Еыводе основных законов и теорем механики всегда исходили из него. В настоящей главе, выводя уравнения движения в форме, ковариантной по отношению к любым точечным преобразованиям координат, мы также положили в основу рассуждений второй закон Ньютона и в конечном результате придали ему форму уравнений Лагранжа. В этом смысле второй закон Ньютона оказывается эквивалентным утверждению о том, что движение может быть описано уравнениями (22), а движение в потенциальном поле —уравнениями (29), где L — T— V.

Естественно поставить вопрос: почему нельзя было с самого начала постулировать уравнения (22) либо (29), если они являются лишь ковариантной записью второго закона Ньютона?' Действительно, такой постулат мог бы быть положен в основу механики (голономных систем). Именно, в наше время построение новых систем механики, в частности, релятивистской механики,