ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 946
Скачиваний: 3
§ 2. ГЕОМЕТРИЯ МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛА |
175 |
зать лишь, что последний член в формуле (17) равен нулю. Чтобы сделать это, выберем начало координат на оси г и направим ось у так, чтобы она пересекала ось / (см. рис. V.2). Тогда последнюю сумму в правой части выражения (17) можно переписать так:
2 т{ра cosa,-= £ rmyi= Myс = 0. |
(18) |
Этот член равен нулю в связи с тем, что по построению ось г проходит через начало координат, и следовательно, координата ус центра инерции равна нулю. Теорема Гюйгенса — Штейнера доказана.
Теорема Гюйгенса —Штейнера удобна в том отношении, что она позволяет использовать приведенные в справочниках моменты инерции типичных фигур и тел относительно стандартных осей, проходящих через центр инерции, для вычисления моментов инерции относительно других осей, параллельных стандартным. Теорема эта не помогает, однако, вычислить моменты инерции относительно осей, образующих заданные углы со стандартными. Поэтому естественно возникает вопрос о том, как меняется момент инерции при повороте оси.
Рассмотрим систему декартовых координат х, у, z и предположим, что моменты инерции тела относительно этих осей заданы. Пусть, далее, задана ось /, полностью ориентированная относительно осей х, у, г (рис. V.3). Говоря, что ось полностью ориентирована относительно системы координат, мы утверждаем тем самым, что задан ее орт е, т.е. заданы направляющие косинусы. Обозначим их (именно направляющие косинусы, а не углы!) через а, р и у соответственно. Требуется по заданным моментам инерции относительно осей х, у, z и направляющим косинусам ее, р, у определить моменты инерции относительно оси /.
В |
соответствии с |
рис. V.3 |
расстояние 1-й точки тела т,- от |
||
оси / составляет р; = | /*; | sin %. Заметим, что такую же |
абсолют- |
||||
ную |
величину |
имеет |
векторное |
произведение радиуса-вектора rt |
|
на орт е оси /, |
\riXe\ |
= risin%. |
Таким образом, |
|
|
Но |
|
|
|
|
(19) |
|
|
|
|
|
|
|
j |
k |
|
x$-yia)k |
(20) |
|
Щ |
|
|
||
a P Y
176ГЛ V ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛЛ
ипоэтому
IП х е |2 =(JW - г,-р)2 + (г(а- xtyf |
+{х$ - Viaf = |
= а2 (у! +г!) +р2 (х? +2l)+Y2 W+у!) - |
|
- |
2a$xiyi - 2аух^ - 2$уу&. (21) |
Умножив теперь левую и правую части равенства (21) на т{ и просуммировав выражение по всем точкам тела, получим
Jt =а2 £ т< (г/1 +г?) +Р2 S ^ (4+г?) +Y2 И пц (*? +Ю - |
|
||
|
- 2ар 2 тгх,г/г - 2ауS "»лг, - 2Ру 2 щщг^ |
(22) |
|
Правая |
часть формулы (22) содержит шесть сумм. Под знаками |
||
первых |
трех сумм в скобках оказались |
выражения, равные квад- |
|
ратам расстояний точки т г от осей х, у |
и г соответственно: |
|
|
Поэтому формулу (22) можно переписать так: |
|
||
J,= а2 2 тф1 + Р2 S m/P?v + у2 2 т,р?2 - |
|
|
|
|
:^,-- 2ау 2 т,-лг,г,-- 2Pv 2 т#,-гг. |
(23) |
|
В правой части этого равенства первые три члена содержат моменты инерции относительно осей х, у и г соответственно. Что же касается остальных трех сумм, то они выражают геометрические характеристики распределения масс, которые отличаются от введенных выше моментов инерции. Обозначим каждую изэтих сумм буквой J с двойным индексом, указав в качестве этих индексов координаты, фигурирующие в соответствующих суммах:
|
. |
(24) |
Тогда равенство |
(23) можно окончательно представить |
в виде |
Jt = аЧх |
+ V*Jy + -fj, - 2a$Jxy - 2ayJxz - |
(25) |
Входящие в формулу (25) выражения (24) называются центробежными моментами инерции(или произведениями инерции)
тела относительно системы осей х, у, |
г. Очевидно, |
|
|
Jxy==Jyxi |
J хг = J zxt |
Jyz== »zy |
\"®) |
В этом смысле существуют не три, а шесть центробежных моментов инерции для данной системы координат х, у, г, но они попарно равны между собой в силу симметрии формул (24).
Вернемся теперь к формуле (25). Она указывает, что поставленная выше задача об определении момента инерции относительно некоторой оси, полностью ориентированной по отношению к декартовой системе осей, лишь по моментам инерции этого же
§ 2 ГЕОМЕТРИЯ МЛСС ТВЕРДОГО ТЕЛА |
177 |
тела относительно декартовых осей, вообще говоря, не имеет решения — надо знать еще центробежные моменты этого же тела, которые не определяются через моменты инерции относительно трех ортогональных осей. Для определения момента инерции относительно произвольно ориентированной оси нужно знать шесть (точнее, девять, но в силу симметрии три из них попарно равны друг Другу) скалярных величин: три момента инерции относительно ортогональных осей и три центробежных момента инерции.
Момент инерции тела относительно некоторой оси / определяется только тем, как распределены массы тела относительно этой оси, и, разумеется, совершенно не зависит от того, каким образом выбрана система координат, по отношению к которой моменты инерции известны При изменении системы координат изменяется шестерка указанных чисел —характеристик этой системы, но изменяется и ориентация рассматриваемой оси относительно системы, т. е. направляющие косинусы а, В и у; общее же выражение, позволяющее определить момент инерции тела через характеристики избранной системы и направляющие коси-
нусы, остается |
одним и тем же и задается формулой (25). Можно |
||
показать, что |
при повороте системы декартовых координат х, |
у, |
|
z относительно рассматриваемой |
точки О моменты инерции |
Jx, |
|
JУ и Jz и центробежные моменты |
инерции изменяются в соответ- |
||
ствии с формулами, определяющими симметрический тензор вто- |
|||
рого ранга *). Поэтому матрица
J == |
Jx |
J xy |
~~ •*xz |
Jyx |
Jy |
-Jyz |
|
|
J zx |
Jzy |
J z |
определяет тензор второго ранга. Его называют тензором инерции тела. В силу соотношений (26) тензор инерции тела является симметрическим тензором.
Тензор инерции —важнейшая характеристика твердого тела. Свяжем теперь с тензором инерции удобный геометрический образ. Выберем произвольную систему координат х, у, z и произвольно ориентированное в этой системе направление оси / с ортом е. Отложим вдоль оси / из начала координат отрезок ON,
равный \lYh (Ри с - V.4). Пусть х, у, г —координаты точки N. Найдем уравнение геометрического места точек N для всех возможных осей /.
!) Мы |
не имеем |
возможности здесь |
входить |
в детали |
для разъяснения |
||||
свойств тензоров |
и отсылаем |
читателя к |
любому |
курсу |
векторного и |
тензор- |
|||
ного исчисления, |
например, к |
книге: Б о р и с е н к о А. |
И , |
Т а р а п о в |
И. Е. |
||||
Векторный |
анализ и |
начало |
тензорного |
исчисления.—^М.: |
Высшая |
школа, |
|||
1966. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
178 |
ГЛ. V. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА |
|
||
Вспоминая, |
что а, Р и у —направляющие косинусы орта е, |
|||
можно записать |
|
|
|
|
|
, |
или |
a = |
|
|
, |
или |
^ = |
(28) |
|
, |
или |
y = |
|
Подставляя |
эти выражения |
а, р* и у в формулу |
(25), по- |
|
лучаем
- 2Jxyxy - 2Jyzyz |
- 2JxXz = 1. |
(29) |
Таким образом, геометрическим местом концов указанных от- |
||
резков, т. е. геометрическим местом точек |
N, является |
поверх- |
ность второго порядка. По самому построению длина отрезка ON |
||
на рис. V.4 отлична от нуля и ограничена, так как для |
любого |
|
конечного тела момент |
инерции Jt — величина, отличная от нуля |
и ограниченная. Среди |
поверхностей второго порядка ограничены |
лишь эллипсоиды (в частности, сферы). Следовательно, геометрическим местом точек N является эллипсоид1). Построенный так эллипсоид
/У |
|
называется |
эллипсоидом инерции для |
|
|
точки О. Уравнение (29) является урав- |
|||
|
|
нением эллипсоида инерции для этой |
||
|
|
точки. Непосредственно видно, что за- |
||
. |
*- |
дание тензора инерции однозначно зада- |
||
У° |
У |
ет эллипсоид инерции. |
||
|
|
Таким образом, для данного тела с |
||
Рис. V.4. |
|
каждой точкой |
пространства связыва- |
|
|
|
ется геометрический образ —эллипсоид, |
||
который изменяется при переходе от |
одной точки пространства |
|||
к другой. |
|
|
|
|
Как известно из аналитической геометрии, для любого эллип- |
||||
соида существуют главные оси. В главных |
осях х*, у*, г* урав- |
|||
нение эллипсоида имеет вид |
|
|
||
|
|
|
|
(30) |
*) Лишь в вырожденном случае стержня нулевого сечения (отрезка материальной прямой) относительно оси стержня Ji — О; в этом случае эллипсоид инерции вырождается в круговой цилиндр с осью {.
§ 2 ГЕОМЕТРИЯ МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛА |
179 |
где а, Ь, с—полуоси эллипсоида. В связи с тем, что полуоси эллипсоида равны расстояниям от его центра до поверхности, они равны
vn vn vn
Подставляя выражения (31) в (30), получаем уравнение эллипсоида инерции в главных осях
|
Jх*х** + Jи*у** + Л * 2 * 2 = 1 . |
(32) |
|
Сравнивая теперь уравнение эллипсоида |
инерции, записанное |
||
в главных |
осях в форме (32), и уравнение |
эллипсоида инерции |
|
(29), записанное в произвольно выбранных осях, |
заключаем, что |
||
в системе |
координат, оси которой направлены по главным осям |
||
эллипсоида |
инерции, центробежные моменты инерции равны нулю: |
||
|
Jx*y* = J'x*z*= Jy*z* = 0. |
|
(33) |
Если эллипсоид инерции отличен от сферы и не является эллипсоидом вращения, то существует единственная система главных осей. При этих условиях в каждой точке пространства может быть указана единственная система осей, замечательная тем,что по отношению к этой системе центробежные моменты инерции равны нулю. Оси, удовлетворяющие этому условию, называются главнымиосями инерциитела для рассматриваемой точки, а моменты инерции относительно этих осей —главными моментами инерции. Главные оси инерции, проходящие через центр инерции тела, называются главными центральными осями инерции.
Таким образом, основная характеристика геометрии масс — тензор инерции тела —позволяет ввести две важные характеристики распределения масс тела по отношению к рассматриваемой точке пространства: первой характеристикой является эллипсоид инерции, построенный в этой точке, второй —связанная сним система главных осей инерции. При переходе от одной точки к другой, вообще говоря, меняются как эллипсоид инерции, так и направления глав' ix осей. Разумеется, существует исключительный случай, когда главными осями инерции являются любые ортогональные оси, пройденные через рассматриваемую точку,— такой случай имеет место, когда эллипсоид инерции в точке является сферой.
Сделаем теперь |
несколько |
замечаний, касающихся главных |
осей и моментов инерции. |
|
|
З а м е ч а н и е 1. До сих пор, говоря «главные оси инерции», |
||
мы имели в виду |
всю систему |
ортогональных декартовых осей. |
Рассмотрим теперь |
случай, когда в точке Опри некотором выборе |
|
осей х, у, г |
|
|
" xz = = Jуг = = "> Jху Ч^ "•