Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Для того чтобы определить кинетическую энергию Т$>, обратим внимание на то, что в относительном движении точка О' неподвижна (она находится в начале координат системы х', у', г'), и поэтому То- подсчитывается как кинетическая энергия тела, имеющего неподвижную точку. При наличии неподвижной точки всегда существует мгновенная ось вращения, проходящая через эту точку. В рассматриваемое мгновение скорости распре-

где Pi—расстояние от f-й точки до мгновенной оси, и кинетическая энергия То- равна

где Ja —момент инерции относительно мгновенной оси (см.ниже). 6° Твердое тело представляет собой систему с шестью степенямисвободы. Действительно, в гл. I было показано, что дви-

жение системы отсчета, а значит, и связанного с ней тела, всегда можно рассматривать как сложное движение, в котором переносным является поступательное движение вместе с какой-либо произвольно выбранной точкой А тела, а относительным —дви- жение тела с неподвижной точкой А. Положение точки А полностью определяется тремя координатами этой точки; положение же тела, одна точка которого неподвижна, полностью определяется заданием трех величин, например трех углов (далее будет подробно разъяснено, каким образом можно выбрать эти три угла).

Условимся далее в качестве точки А выбирать центр тяжести С (т. е. центр инерции) тела. Тогда движение точки А, а значит, и поступательное движение системы, связанной с точкой А, полностью определяется теоремой о движении центра инерции

МГС = Лвнеш-

Проектируя это уравнение на оси координат, получаем для движения центра инерции три скалярных уравнения

ранстве, надо к этим трем уравнениям, определяющим движение центра инерции, добавить уравнения, описызающие изменение во времени обобщенных координат, характеризующих движение тела вокруг центра инерции. Выбор этих обобщенных координат и способы записи уравнений для них будут подробно рассмотрены ниже. Эти уравнения вместе с уравнениями для движения центра инерции и составляют систему дифференциальных уравнений, описывающих движение твердого тела.

В данном случае нас интересует только движение тела с вполне определенной неподвижной точкой —центром инерции, но движение тела с неподвижной точкой интересно и само по себе, так как оно часто встречается в приложениях. Примерами движения этого вида могут служить, например, движение гироскопа в кардановом подвесе и движение раскрученного волчка. Поэтому, рассматривая далее в этой главе движение относительно неподвижной точки, мы не будем связывать себя условием, что неподвижная точка расположена в центре инерциих ).

7° Это замечание касается вращения тела относительно неподвижной оси /. Для подсчета кинетической энергии тела в этом случае нет нуж,"ы использовать теорему Кёнига даже в том случае, когда центр инерции тела не лежит на оси и имеет скорость, отличную от нуля. Действительно, можно выбрать начало координат на неподвижной оси и рассуждать точно так же, как это делалось в конце замечания 5° при подсчете Тб', поскольку формула (8) определяет в этом случае не относительную, а абсолютную скорость, если считать, что р, — расстояние от г-й точки до оси вращения. Поэтому в случае движения тела относительно неподвижной оси

J) Все уравнения и следствия из них, которые получаются далее, разумеется, относятся и к тому частному случаю, когда неподвижная точка совпадает с центром инерции тела.

Для мгновенного вращения вокруг мгновенной оси соответственно имеем

(13)

где Кш — кинетический момент тела относительно мгновенной оси. В связи с тем, что мгновенная ось меняет свое положение отно-

ИЛИ

сил относительно оси / от времени (либо от ф, либо от со) и на-