Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

в пространстве, однако вся плоскость Р может поворачиваться относительно линии узлов без изменения угла г|з и, кроме того, система £, rj, £ может вращаться относительно оси £ также без изменения этого угла. Чтобы фиксировать положение в плоскости Р осей £ и У\ греческой системы, введем в плоскости Р угол ср между линией узлов и осью £. Этот угол называется углом собственного (или чистого) вращения.

Теперь, когда углы ф и г|з фиксированы, у тела остается лишь одна степень свободы: не меняя этих углов, можно повернуть тело вокруг линии узлов. Чтобы фиксировать и этот поворот,

Вместе с тем эти три угла независимы в том смысле, что каждый из них можно менять без изменения двух остальных углов. Поэтому углы г|5, ф, 6 могут служить обобщенными координатами тела с неподвижной точкой О. Углы зти называются эйлеровыми

углами.

Разумеется, эйлеровы углы —не единственно возможный выбор обобщенных координат. В динамике полета, например при исследовании движения самолета или ракеты, используется иногда иной выбор обобщенных координат: в качестве трех углов, характеризующих положение летящего тела, принимают угол отклонения горизонтальной оси самолета от заданного курса (угол рыскания), угол поворота вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно курсу, например вдоль крыльев, и характеризующей отклонение от горизонтали (угол тангажа), и наконец, угол поворота вокруг продольной оси самолета (угол крена).

Угловые скорости ф, ф, 8 изображаются векторами, направленными перпендикулярно плоскостям, в которых расположены соответствующие углы. Поэтому угловая скорость <р направлена перпендикулярно плоскости Р, т. е. по оси £; угловая скорость

if —перпендикулярно плоскости хОу, т. е. по оси г; и наконец, угловая скорость в направлена перпендикулярно плоскости, проходящей через оси £ и г, т. е. вдоль линии узлов (рис, V.8). В связи с тем, что эйлеровы углы независимы, угловые скорости ф, ijj, 6 представляют собой систему трех независимых угловых скоростей, пересекающихся в одной точке О. Движение тела

Раньше мы разложили эту же угловую скорость © иначе —на три составляющие вдоль осей £, г) и £ и обозначили эти три составляющие буквами р, q и г соответственно. Поэтому

Но существует только один вектор угловой скорости, а выписанные равенства представляют лишь его разложения по разным направлениям, так что

х

Уравнения (53) выражают выведенные выше вспомогательные

собой систему дифференциальных уравнений относительно эйлеро-

таком выборе осей кинетическая энергия тела, как это было

Эти выражения для обобщенных сил показывают, что уравнения Лагранжа, вообще говоря, неудобны для описания движения тела с неподвижной точкой, так как первой обобщенной силой является момент относительно неподвижной в пространстве оси г, второй — момент относительно неподвижной в теле, но

движущейся в пространстве оси £, а третьей —момент относительно линии узлов N, которая перемещается и по отношению к неподвижному пространству, и по отношению к телу. Понимая это, мы все же начнем вывод уравнений Лагранжа для того, чтобы перейти от них к более удобной для данного случая форме уравнений движения.

Составим уравнения Лагранжа для эйлерова угла ф, т. е. обобщенной координаты q2. Фигурирующая в уравнениях Лагранжа частная производная dT/dq2 равна

уравнений найденные выше моменты — обобщенные силы — и постараться затем преобразовать полученные выражения так, чтобы из правых частей исключить моменты относительно оси г и относительно линии узлов, т. е. чтобы они были заменены моментами относительно осей | , г\, £. Выкладки, связанные с этим, громоздки, однако результаты можно получить сразу, не выписывая уравнений Лагранжа для координат г|э и 6, а рассуждая так же, как это делалось выше при получении равенств (46) из равенства (45).

Уравнение (58) содержит лишь элементы тензора инерции и проекции векторов & и М на оси координат |, ц, £. Выше уже говорилось, что любые операции над тензорами и векторами инвариантны относительно циклической перестановки осей этой