Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Моменты М|, /Ил и М^, стоящие в правых частях уравнений (60), являются, вообще говоря, функциями от эйлеровых углов, их производных и времени:

1|э, 6, <р, -ф. 8, t),

ц = Мц(ц>, ф, 6, ф, ф, 9, t),

ф, 8, ср, i\ 6, 0-

Поэтому уравнения (60) не являются замкнутой системой уравнений относительно введенных выше вспомогательных перемен- ных—проекций угловой скорости р, д, г. Уравнения (60) совместно с уравнениями (53) представляют собой систему с шестью

неизвестными: тремя неизвестными служат интересующие нас ко- ординаты—эйлеровы углы, а остальными тремя неизвестными — вспомогательные переменные р, q, r. В этом смысле подразделение уравнений Эйлера на кинематические соотношения (53) и динамические уравнения (60) условно и неточно. Обе эти группы уравнений совершенно равноценны, и лишь совместно они описывают движение тел с неподвижной точкой.

Введение вспомогательных переменных р, q, r и использование уравнений Лагранжа в форме уравнений Эйлера (53)+ (60) имеет несомненгые преимущества в тех частных случаях, когда главные

моменты постоянны (в частности, равны нулю) или являются заданными функциями времени. В этих случаях систему (60) можно рассматривать как независимую систему дифференциальных уравнений относительно вспомогательных переменных р, q, r;

Известны лишь три частных случая, когда уравнения (53) + (60)

могут быть не только расщеплены на две независимые системы

уравнений, о чем шла речь выше, но и интегрирование системы

уравнений Эйлера (60) может быть доведено до квадратур при

любых начальных данных, а именно—случай Эйлера, случай Лагранжа, случай Ковалевской*).

В случае Эйлера тело с неподвижной точкой движется по инерции. Это имеет место тогда, когда действующие на тело силы сводятся к равнодействующей, которая все время проходит через

однако центр тяжести может быть расположен где угодно в экваториальной плоскости эллипсоида инерции для неподвижной точки.

В следующем параграфе мы рассмотрим движение тела по инерции (случай Эйлера), а в § 7 один важный вопрос, касающийся, в частности, и случая Лагранжа; случай Ковалевской, редко встречающийся в приложениях, рассматриваться нами не будет.

§ 6. Движение твердого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера)

Приступая к изучению движения твердого тела с неподвижной точкой по инерции (случай Эйлера), рассмотрим отдельно движе-

рить, что тело обладает динамической симметрией. Динамическая симметрия всегда имеет место у однородных тел вращения, но может случиться, что тело не является телом вращения, однако

А—В, т. е. имеет место динамическая симметрия.

1.Общий случай АфВ (отсутствие динамической симметрии).

В случае Эйлера главный момент Мо приложенных сил относительно неподвижной точки равен нулю, и поэтому

система уравнений (60) становится автономной и может быть решена отдельно от системы (53). Но в этом случае мы распола-

получаются в силу Двух законов сохранения: закона сохранения кинетического момента и закона сохранения кинетической энергии. Действительно, поскольку Мо= 0, из теоремы об изменении кинетического момента получаем

Ко —Ко = const.

С другой стороны, элементарная работа всех приложенных сил равна нулю, т. е. 6Л = 0, а значит, dT = 01), т. е.

Т = 70 = const.

Из того факта, что при движении твердого тела по инерции вектор кинетического момента не меняется, следует, в частности, что не меняется и квадрат модуля этого вектора:

/Со = const.

В связи с тем, что оси, связанные с телом, направлены по главным осям инерции для неподвижной точки, имеем