Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

чены, и для них составлены специальные таблицы. Вычислив этот интеграл, т. е. найдя t как функцию от г и трех произвольных постоянных S, Кои Го,определяемых начальными данными, а затем разрешив полученное соотношение относительно г, нужно вер-

найти введенные выше вспомогательные переменные — проекции р, q и г как функции времени и начальных данных, но для того чтобы представить себе картину движения твердого тела по инерции, надо было бы проинтегрировать теперь систему уравнений (53). Значительно удобнее «увидеть», каким образом фактически происходит движение твердого тела поинерции, воспользовавшись изящным геометрическим приемом, указанным Пуансо.

Рассмотрим эллипсоид инерции, построенный длянеподвижной точки О (рис. V.10). Назовем мгновенным полюсом Р точку, в которой мгновенная ось пересекает этот эллипсоид инерции, обозначим через Гр радиус-вектор точки Р и положим

должны удовлетворять уравнению эллипсоида инерции, т. е. уравнению

так как по условию \, т), £— главные оси инерции для точки О. Подставляя в формулу (72) выражения (71), получаем

Покажем теперь, что проекция OS радиуса-вектора гР на направление постоянного вектора кинетического момента Ко также не меняется во времени:

OS = Пр*0Гр = Прк№ = Hip*,© = Л - 5 ^ = ^ = c o n s t - (7 5 )

Теперь покажем, что нормаль N к эллипсоиду инерции в точке Р параллельна вектору Ко- Для этого вычислим проекции вектораградиента

f =2*. f-2flr,. f =2CC,

где F —левая часть уравнения (72). Проекции этого вектораградиента пропорциональны проекциям вектора Ко, так как проекции вектора Ко равны

Из того, что нормаль к эллипсоиду инерции в точке Р параллельна вектору Ко, следует, что плоскость, касательная к эллипсоиду инерции в точке Р, перпендикулярна вектору Ко- Но выше было показано, что проекция вектора гР на направление Ко не меняется. Это значит, что касательная к эллипсоиду инерции плоскость все время пересекает постоянный вектор Ко в одной и той же точке.

Таким образом, начальные условия задают направление вектора Ко и плоскость, которая пересекает вектор Ко и касается эллипсоида инерции. При движении тела эллипсоид инерции также движется вместе с телом, однако он всегда касается указанной плоскости, положение которой в пространстве не меняется. В силу того, что точка Р расположена на направлении вектора ю, т. е. на направлении мгновенной оси, скорость этой точки тела в любое мгновение равна нулю. Отсюда следует, что движение по инерции

Каждое из этих движений удовлетворяет динамическим уравнениям Эйлера, и непосредственно видно, что если в случае Эйлера

плоскость, т. е. что вектор Ко также лежит в плоскости П. Но, как уже было указано, в случае движения по инерции вектор Ко неподвижен в пространстве, вектор же w движется. Отсюда сразу следует, что во время движения по инерции симметричного твердого тела плоскость П вращается вокруг неподвижного направления —это направление задается вектором Ко-

Однако в случае Эйлера проекция вектора «о на направление вектора Ко также постоянна:

а также углы, которые они составляют с осью симметрии и между