Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

находится точка. Поэтому положениями равновесия являются точка минимума А, точка максимума В и все точки «плато» С.

Рассмотрим теперь систему, состоящую из двух точек А иВ, связанных пружиной и движущихся в плоскости по заданным

Рис. VI. 1.

кривым (рис. VI.2). В этом примере потенциальная энергия про-

Подобным же образом в общем случае консервативной системы с п степенями свободы, когда потенциальная энергия является

что q) = 0 (/= 11 ..., п) и что qt —отклонения обобщенных координат от их равновесных значений. Тогда в 2п-мерном фазовом пространстве q, q положению равновесия тоже соответствует начало координат, так как при равновесии все q равны нулю.

Исследуя движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия, мы будем считать, что во время таких движений все qj и (\j —малые величины одного и то же порядка мало-

Будем предполагать, что в уравнениях Лагранжа, описывающих движение

все непотенциальные части обобщенных сил Q* являются функциями только q и q и не зависят явно от t.

Чтобы сохранить в этих уравнениях лишь малые первого порядка, разложим функции Т, V и Q* в ряды по всем независимым переменным q и q и ограничимся в разложениях Т и V малыми второго порядка1), а в разложении Qf — малыми первого порядка.

Врассматриваемом стационарном случае

ичтобы сохранить в разложении Т лишь малые второго порядка,

надо разложить в ряды коэффициенты alk и ограничиться в этих разложениях «нулевыми» членами, не содержащими множите-

лей qj, т. е. положить

aJk (q) «* aJk (0).

Обозначим полученные так величины через afk — ajk(0); тогда

Это выражение является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Из физического смысла понятия кинетической энергии следует, что функция Т равна нулю лишь тогда, когда все qj одновременно равны нулю, и положительна, если хотя бы одна из q, отлична от нуля. Квадратичная форма, удовлетворяющая этим условиям, называется положительно определенной, а матрица, составленная из ее коэффициентов,

называется матрицей положительно определенной квадратичной формы, или просто положительно определенной матрицей.

Обратимся теперь к выражению для обобщенной силы

П дУ(«?) | п* in Л\

г) Тогда входящие в уравнения Лагранжа частные производные dT/dq, будут малыми первого порядка.

214 ГЛ.VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

и разложим это выражение в ряд

где многоточием заменены остальные (нелинейные) члены разложения. Величина, стоящая в первой квадратной скобке, равна нулю, так как она равна значению обобщенной силы в положении равновесия

Введем обозначения

здесь А, В*, С и С* —квадратные матрицы, составленные из элементов aJk, b%, 9* и с% соответственно, a q является п-мерным вектором-столбцом, составленным из обобщенных координат.

Линейные дифференциальные уравнения (14) (или (15)) называются уравнениями линейного приближения. Они приближенно описывают движения, происходящие в малой окрестности положения равновесия. Уравнения линейного приближения (14) сами по себе не определяют размеров области, в пределах которой точные нелинейные уравнения (10) могут быть заменены этими

линейными уравнениями. Границы этой области зависят от отброшенных нами членов высшего порядка в разложениях функций Т, V и Q*. В частных случаях может оказаться, что эта область весьма велика, например, заведомо охватывает все возможные движения системы.

Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из

которое называется характеристическим уравнением линейного приближения. Каждый элемент этого определителя я-го порядка является квадратичным полиномом относительно А; поэтому левая часть характеристического уравнения линейного приближения — характеристический полином —представляет собой полином степени т =2п.

Уравнения (15) отличаются от общего случая системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными

Если дополнительно предположить, что не только А, но иС является матрицей положительно определенной квадратичной формы, то (как мы покажем далее) всекорни характеристического уравнения (18) будут чисто мнимыми.

Д и с с и п а т и в н а я система . Пусть теперь Q*^0 , но зависят лишь от обобщенных скоростей. В этом случае вблизи положения равновесия

216 ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Разумеется, система является диссипативной не всегда, т. е. не при любом выборе чисел bjk. Найдем условия, которым должны удовлетворять числа Ъ% для того, чтобы система была диссипативной. С этой целью введем квадратичную форму

тогда

Функция R называется функцией Релея.

Если рассматриваемая система диссипативна, то

dE

dt dt

где N* — мощность непотенциальных сил (см. § 3 гл. IV).

Но в силу (20) и теоремы Эйлера об однородных функциях

в уравнениях движения

А и В* будут матрицами положительно определенных квадратичных форм.

§5. Устойчивость равновесия

1.Общие понятия об устойчивости. Вернемся к рис. VI. 1. Хотя точки Л и Б и все точки «плато» С являются положениями

равновесия материальной точки, находящейся в поле силы тяжести на изображенном на этом рисунке рельефе, интуитивно ясно, что они не равноценны. Если материальная точка помещена в достаточно малую окрестность точки А и имеет достаточно малую начальную скорость, то возникающее затем движение не выведет ее за пределы малой окрестности точки А. Более того, чем ближе к точке А помещена материальная точка в начальный момент и чем меньше ее начальная скорость, тем в меньшей окрестности точки А будет происходить последующее движение.

Иначе обстоит дело для положения В. Как бы мало ни была отклонена материальная точка из В и как бы мала ни была ее

мала эта скорость, материальная точка, двигаясь вдоль «плато», выйдет за пределы малой окрестности положения равновесия и

малого возмущения. Положение равновесия называется устойчи-

венства (22) при условии (21) выполнены для любой малой е-ок- рестности. Действительно, если условия (22) выполнены для

218 ГЛ. VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

«устойчивым в малом». В определении никак не оговариваются границы или размеры области начальных отклонений, при которых движение остается в окрестности положения равновесия. С этой точки зрения положение А на рис. VI.1 устойчиво независимо от размеров «лунки» вблизи А, а положения В и С неустойчивы, сколь бы полога ни была кривая вблизи точки Вили сколь бы длинно ни было «плато» С.

Устойчивость обеспечивает пребывание системы вблизи положения равновесия при достаточно малых отклонениях, но не гарантирует возвращения в положение равновесия или даже асимптотическое стремление к нему при 2->оо. Между тем интуитивно ясно, что даже в простейшем случае, показанном на рис. VI. 1, устойчивость может сопровождаться (например, если учесть наличие сил сопротивления) или не сопровождаться (например, когда нет иных сил, кроме веса) асимптотическим стремлением к равновесию. Чтобы учесть это различие, вводится понятие об асимптотической устойчивости.

Положениеравновесия q) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, если, кроме того, существует такая А-оКрестность точки qj = q), qj = 0 (/= 1, ..., п), что дляecexfy0 —

— $/(< Д, 1 qj (0) | < А выполняются условия

монотонно уменьшается до нуля (рис. VI.3). Легко видеть, что при этом условие (23) выполнено, а условие (22) не выполнено. Между тем такое протекание интегральных кривых возможно для систем дифференциальных уравнений, алгебраически разрешенных относительно старших производных, а значит, и для уравнений Лагранжа.

Обратим внимание читателя на то, что область 6(е), о которой шла речь в определении обычной устойчивости, зависит от в,