Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

а область А, о которой идет речь в определении асимптотической устойчивости, от е не зависит. Поэтому для каждого значения е существует некоторая область б* (е), являющаяся пересечением областей б(е) и А. Движения, начавшиеся в б*-окрестности начала координат, не только не выходят за пределы е-окрест- ности, но и стремятся к началу координат при t-*-oo.

Наша цель состоит в том, чтобы сформулировать (а в некоторых случаях и доказать) критерии, позволяющие установить, устойчиво ли положение равновесия. Критерии такого рода мы рассмотрим отдельно для консервативных систем, диссипативных систем и систем общего вида.

2. Суждение об асимптотической устойчивости по линейному приближению. Вернемся к уравнениям линейного приближения (15). Из того факта, что решения системы уравнений линейного приближения (15) имеют вид

где kk —корни характеристического уравнения (16),сразу следует, что для того чтобы положение равновесия системы, которая описывается уравнениями (15), было асимптотически устойчивым, надо, чтобы все действительные %k были отрицательны, а все комплексно сопряженные Xk имели отрицательные действительные части

устойчивость, определяемая линейными уравнениями (15),связана

мойуравнениями(10), асимптотически устойчиво. Если хотя бы один корень характеристического уравнения (16) имеет положительную действительную часть, то положение равновесия, определяемое системой (10), неустойчиво.

220 ГЛ. VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

Отсылая читателей, интересующихся доказательством этой теоремы, к книгам по устойчивости движения1), обратим внимание на следующие обстоятельства. Теорема Ляпунова о линейном приближении определяет только достаточные условия асимптоти-

с корнями с отрицательными действительными частями имеет чисто мнимые корни (т. е. корни, которым на рис. VI.4 соответ-

вании устойчивости в случаях такого рода представляет собой трудную задачу, которая не может быть решена только рассмотрением линейного приближения (16) и требует учета членов высших порядков в разложениях функций, входящих в уравнения (10).

Теорема Ляпунова об устойчивости линейного приближения сводит задачу об определении того, является ли равновесие асимптотически устойчивым, к чисто алгебраической задаче: задано характеристическое уравнение (16); требуется, не решая этого уравнения, определить, все ли его корни расположены слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные действительные части. Задача такого рода носит название задачи (проблемы) Гурвица2). Существует ряд критериев, позволяющий непосредственно по коэффициентам характеристического уравнения (16), не решая его, ответить на вопрос, все ли корни характеристического уравнения расположены слева от мнимой оси. Полиномы, которые удовлетворяют этому условию, иногда называют гурви-

цевыми.

корни некоторого алгебраического уравнения отрицательные действительные

внимание цюрихского математика Гурвица, который, также не зная о работах Максвелла и Рауса, самостоятельно решил ее, придав критерию замкнутую форму. Связь между алгоритмом Рауса и критерием Гурвица была установлена позднее.

3. Критерии асимптотической устойчивости линейного приближения. Из различных критериев, дающих решение задачи Гурвица, мы приведем здесь только сам критерий Гурвица и графический критерий (часто более удобный для практического использования), предложенный А. В. Михайловым в 1938 г.

Прежде чем сформулировать эти критерии, укажем важный необходимый признак устойчивости. Для этого раскроем определитель в характеристическом уравнении (16), и, собрав подобные члены, представим левую часть уравнения в виде полинома степени т1)

Л 0 > 0 ; если это не так, то характеристический полином надо предварительно умножить на — 1.)

Действительно, если подставить в полином (25) в качестве Я,-

входят в эти произведения лишь комплексно сопряженными па-

ются гурвицевыми. Приступим теперь к рассмотрению критерия устойчивости в случае, когда это необходимое условие выполнено.

1) Если не рассматривать вырожденные случаи, то в задачах механики т = 2я, т. е. степень полинома (24)всегда четная. Устанавливаемые далее критерии устойчивости не используют этого обстоятельства и верны при любом т.