Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 951

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

202

ГЛ. V. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

спостоянной угловой скоростью вокруг какого-либо проходящего через неподвижную точку фиксированного направления, образуя

сэтим направлением постоянный угол б, называется регулярной

прецессией. Неподвижная ось,вокруг которой вращается ось симметрии, называется осью прецессии J ).

Итак, движение по инерции

симметричного (А= В) твердого

тела всегда является регулярной

прецессией, ось которой совпа-

дает с направлением кинетического момента. Угловая скорость щ называется угловой скоростью собственного вращения, а угловая скорость щ —угловой скоростью прецессии. Угловые скорости соц

и со2, угол 9 и направление вектора Ко полностью

определяются

начальными данными. Если эти данные таковы, что вектор ©

в начальный момент

направлен по главной оси инерции, топо

этой

же оси будет

направлен и вектор

Ко (см. примечание на

стр.

187—188). В этом случае будет

происходить

регулярная

прецессия при 6=0, т. е. вращение вокруг стационарной оси.

§ 7. Поддержание регулярной прецессии относительно произвольной оси придвижении симметричного твердого тела с неподвижной точкой

Мы видели выше, что движение симметричного тела с неподвижной точкой по инерции всегда является регулярной прецессией относительно направления кинетического момента. Представим себе теперь, что симметричное тело имеет неподвижную точку (за ось £, как и ранее, выбрана ось симметрии) и что задана какая-либо неподвижная прямая, проходящая через неподвижную точку и уже не совпадающая с переменным в общем случае направлением вектора Ко кинетического момента. Направим вдоль

этой прямой ось г неподвижной в пространстве

системы

х, у, г.

Найдем условия, при которых тело совершает

регулярную пре-

цессию относительно оси г

с заданными а^—угловой скоростью

собственного вращения, со2 —угловой скоростью прецессии и 9 —

углом нутации (рис.V.13).

Разумеется,

таким

движением уже

не может быть движение

по инерции, так как ось прецессии

не совпадает теперь

с

направлением кинетического момента, и

следовательно, для того

чтобы подобного

рода

регулярная пре-

!) То, что движение

симметричного тела по инерции является регулярной

прецессией, может быть

установлено и из геометрической

интерпретации Пу-

ансо (см. стр. 198—199).

Действительно, в случае

А =В эллипсоид

инерции

для неподвижной точки

является

эллипсоидом вращения. Поэтому

при каче-

нии этого эллипсоида без скольжения по неподвижной плоскости, перпендику-

лярной постоянному вектору АГ0, точка касания описывает на плоскости

окруж-

ность. Ось Z, — одна из главных осей эллипсоида; следовательно,

при движении

тела по инерции эллипсоид инерции

(а значит, и тело!) вращается

вокруг

оси £, сама же ось £,

«прочерчивая>

окружность на плоскости,

перпендику-

лярной Ко, вращается

вокруг Ко-

 

 

 

7. ПОДДЕРЖАНИЕ РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИ

203

цессия могла быть реализована, к телу должны быть приложены внешние силы. Задача состоит в том, чтобы определить, каким должен быть Мо — главный момент приложенных сил относительно неподвижной точки О, чтобы осуществлялось заданное движение.

При регулярной прецессии со, и <о2 постоянны; поэтому модуль угловой скорости | соj не меняется, вектор угловой скорости со всегда лежит в плоскости, проходящей через заданные направления (ось прецессии г и ось симметрии тела £), и углы между направлением со и указанными двумя осями г и £ также остаются псстоянными.

 

Проведем через

ось £ и ось г плоскость П (рис. V.14). Пусть

эта плоскость пересекает плоскость \Ох\по прямой R. Угол между

осями £ и г, по условию зада-

чи

заданный

и постоянный,

как и ранее, обозначим через

6.

Поскольку

(olt

co2 и 9 по-

тоянны, модуль

вектора со и

угол

между

направлением со и осью

£

будут сохранять

посто-

янное

значение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Как и в случае

движения по

инерции

симметричного

тела,

не только вектор

со, но и вектор

Ко лежит в плоскости П. Это

доказывается

так

же,

как и при

рассмотрении

случая

Эйлера

для симметричного

тела,

поскольку

при

доказательстве

этого

факта

мы опирались только на симметрию

тела

и не использо-

вали того, что движение происходит по инерции.

 

 

 

 

 

Проекции

вектора

со на направления

£ и R,

равные

г

и

УргЛ-Цг соответственно, постоянны, поскольку

постоянны

 

со|

и угол между

со и осью £.

Значит,

постоянны

и

проекции

Ко

на направления £ и R, равные Сг

и A yrp2-}-q2.

Следовательно,

ни модуль

\Ко\,

ни

углы

между

Ко

и направлением £ не ме-

няются. Отсюда сразу следует, что вектор

Ко< в с е

время

лежа-

щий

в плоскости П,

неподвижен

в

ней. Но вся

 

эта плоскость

по условию заданной прецессии вращается

вокруг

направления z

204

ГЛ. V. ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

с угловой скоростью <а.2. Поэтому скорость конца вектора Ко> равная, как всегда, производной от вектора Ко п о времени, представится векторным произведением щхКо', таким образом,

^ • = w2 X/fo = Mo.

(80)

Для того чтобы вычислить это векторное произведение, введем систему координат с осями £, R и N (N —прямая, перпендикулярная плоскости П, см. рис. V.14). Это—главные оси инерции, поскольку эллипсоид инерции представляет собой эллипсоид вращения. Пусть /, J и Л—орты осей N, R и £ соответственно; тогда

У к

(81)

Подсчитаем проекции векторов щ и Ко на оси R и £:

 

 

 

 

 

 

 

(82)

 

 

 

 

 

 

 

(83)

В

двух последних

равенствах ]/р2-Ь<72 и г можно выразить

через

сох

и ю2> т а к как

 

 

 

 

 

 

| / р 2

+ <72 = Пр^ю = Пр к (в)х + еэ2) = ш2sin 6,

 

 

 

 

г = Пр£<» = ПрЕ («1+ <»2) = Щ+ Щcos8;

 

следовательно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= /4co2sine,

 

(84)

 

 

 

 

Го= С(щ + (о2 cos 6).

 

(85)

Подставляя выражения

(81)—(85) в формулу (80), получаем

 

 

I

I

 

k

 

 

Mo = <»a X Ко

0

ш2sinв

©a cos9

 

 

 

 

0

А(ог

sin6

С (со! + со2 cosв)

 

 

 

 

/со2 sin 8[С(щ + со2c o s s ) — А®гcos

^ ] =

 

 

Поскольку

сох©, sin 8 = ш2 х ©!, это равенство

можно записать

так:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

х ©О[с+(С- Л) ^ cos б].

(87)

Формула (87) называется основнойформулой гироскопии. В частном случае, когда угловая скорость собственного вращения

i 7. ПОДДЕРЖАНИЕ РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИ

205

значительно больше угловой скорости прецессии, т. е. ^ г можно пренебречь вторым членом в квадратных скобках и приближенно переписать эту формулу так:

(88)

Формула (88) называется приближенной формулой гироскопиих). В силу этой формулы момент, который нужно приложить для того, чтобы поддержать прецессию, по направлению определяется векторным произведением заданных угловых скоростей, а по величине отличается от модуля этого векторного произведения лишь постоянным множителем, равным моменту инерции тела относи-

тельно оси симметрии.

Рассмотрим теперь ось, на которой закреплено симметричное тело, например маховик, вращающийся с достаточно большой угловой скоростью ©!• Ось закреплена на шарнире, являющемся, таким образом, неподвижной точкой для тела, состоящего из оси и закрепленного

на ней маховика (рис. V.15). Предположим, что к противоположному концу оси в плоскости рисунка приложена сила F, стремящаяся повернуть ось с вращающимся на ней маховиком, т. е. сила, обусловливающая момент М, направленный перпендикулярно рисунку «от нас». Тогда легко видеть, что для того чтобы выполнялось равенство (88), угловая скорость ю2 должна быть направлена в плоскости рисунка перпендикулярно направлениюоси. Но это значит, что скорость той точки оси,

в которой приложена сила F,

направлена не

по

направлению

силы, а перпендикулярно ей, «от нас». Если бы

тело не враща-

лось вокруг оси, то сила F вызвала бы скорость,

совпадающую

по направлению с силой. Только благодаря тому,

что тело вра-

щается с угловой скоростью ыи

сила

вызывает не

движение оси

в направлении силы, а прецессию,

в результате

чего скорость

конца оси направлена перпендикулярно силе. Легко видеть, что

в любом случае направление скорости конца оси получается поворотом направления силы на 90° по направлению вращения тела.

Это правило иногда называют правилом Жуковского. Оно позво-

*) Эту формулу можно получить

непосредственно

из теоремы Резаля (см.

стр. 73), если, исходя из предположения G>I !> ш2, пренебречь составляющей

вектора Ко, перпендикулярной оси

симметрии тела,

и приближенно считать

206

ГЛ V

ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

 

 

ляет легко

представить

себе направление скорости по отношению

к вызвавшей ее силе.

 

 

 

 

 

 

 

Формула

(88) и правило

Жуковского

легко объясняют пове-

дение раскрученного волчка

(рис. V.16).

Действительно,

пусть

симметричный волчок

вращается

вокруг

собственной

оси; если

пренебречь трением в точке

его касания с полом, то единствен-

 

 

 

ной действующей

на него силой бу-

 

 

 

дет сила тяжести, приложенная в

 

 

 

центре тяжести. Эта сила

направле-

 

 

 

на в плоскости чертежа вниз, и что-

 

 

 

бы выяснить

направление

скорости

 

 

 

точки приложения силы, нужно раз-

 

 

 

ложить силу

О на две составляю-

 

 

 

щие: вдоль оси

симметрии

(эта со-

 

 

 

ставляющая компенсируется реакци-

 

 

 

ей опоры) и по перпендикуляру

к этой

 

 

 

оси. В соответствии с правилом Жу-

 

 

 

ковского вторую составляющую на-

 

 

 

до повернуть

на 90° по направ-

лению вращения волчка. Поэтому

скорость

центра тяжести на-

правлена перпендикулярно плоскости чертежа, например «на нас». Однако, когда ось сдвинется в этом направлении, «чертеж» полностью сохранится, и таким образом, до тех пор, пока продолжается вращение с угловой скоростью %, продолжается и вращение оси волчка вокруг вертикального направления с некоторой угловой скоростью ю2-

Такое описание движения тяжелого симметричного волчка носит чисто качественный характер и является приближенным. В действительности ь случае Лагранжа регулярная прецессия возникает лишь при вполне определенных начальных условиях. В иных случаях возникает более сложное движение: угловая скорость прецессии не сохраняет постоянного значения, а ось волчка не только прецессирует вокруг вертикали, но и совершает колебания в вертикальной плоскости. Это колебательное движение соответствует изменению угла 8 и называется нутацией.

Смотрите также файлы