Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

228 ГЛ. VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

нию равновесия соответствует строгий минимум функции V (q), то оно устойчиво; однако устойчивыми могут быть положения равновесия, которые не совпадают с точками строгого минимума

сия консервативной системы функция У (q) имеет строгий макси-

системы в потенциальном поле. Эти понятия тесно связаны с тем фактом, что положения равновесия таких систем могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми. Связь эту удобно продемонстрировать на простейшем примере, представленном на рис. VI. 1.

Рассмотрим положение А (рис. VI. 1). Это положение соответствует минимуму потенциальной энергии, и любое движение,

в окрестность А, могла выйти из нее, точке должна быть придана энергия, превышающая некоторое пороговое значение. Если с этой целью повышается потенциальная энергия материальной точки при нулевой ее скорости, то материальная точка выйдет из окрестности А только при условии, что ее потенциальная энергия

существует потенциальный порог или барьер, который надо преодолеть, чтобы «вырвать» материальную точку из окрестности точки А. Того же можно достигнуть, увеличивая кинетическую энергию материальной точки, но и в этом случае должен быть

230 ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

h = hi), то фазовая траектория не замкнута и такова, что при движении вдоль нее изображающая точка неограниченно удаляется от положения устойчивого равновесия. Траектории этих типов разграничиваются траекторией, которая проходит через точку неустойчивого равновесия и соответствует h—h3. Таким образом, h = h3 и определяет энергетический барьер в этой задаче. В связи с тем, что каждая точка фазовой плоскости задает начальные данные <7(0), $(0), т. е. определяет движение, траектория, соответствующая h = h3, выделяет те значения q (0) и q(0), при которых движение остается в окрестности равновесия (заштрихованная область на рис. VI.10) и определяет в этой задаче «конфигурацию потенциальной ямы».

Вполне аналогично обстоит дело и в общем случае движения консервативной системы с п степенями свободы. Потенциальная

5. Устойчивость равновесия диссипативной системы. Функция Ляпунова. Рассмотрим теперь строго диссипативную систему, т. е. стационарную систему, отличающуюся от консервативной наличием таких непотенциальных обобщенных сил Q*,что

ной стационарной системы потенциальная энергия имеет строгий минимум и если это положение равновесия является изолированным то оно асимптотически устойчиво.

Д о к а з а т е л ь с т в о . При доказательстве теоремы Лагранжа для консервативных систем мы, предполагая лишь, что в рассматриваемой точке функция V имеет строгий минимум и что энергия сохраняется во время движения, установили устойчивость равновесия в этой точке. Это доказательство тем более сохраняется, если считать, что во время движения Е убывает. Поэтому нет необходимости заново доказывать устойчивость равновесия в условиях, когда система не консервативна, а диссипативна; чтобы доказать теорему, надо дополнительно показать лишь, что при условиях этой теоремы существует такая А-окрестность на-

чала координат фазового пространства, что движения, начав-

в силу обычной устойчивости можно по а найти окрестность б (а). На выбор числа а > 0 наложим лишь одно ограничение: в а-окрестности начала координат фазового пространства не содержится иных положений равновесия. Такой выбор числа а всегда

неравенство dE/dt<.0, т. е. энергия Е монотонно убывает, оставаясь все время положительной. Следовательно, при движении Р существует предел

hm £ ( * ) = £ „ .

Чтобы завершить доказательство теоремы, нам осталось доказать лишь, что Е^ не может быть положительным числом. Пред-

движении Р расположена в а-окрестности, то, выбирая произвольную последовательность моментов времени /Л-»-оо (й->оо),

*) Как и при доказательстве теоремы Лагранжа, без ограничения общности предполагается, что изучаемому положению равновесия соответствует начало координат фазового пространства. Потенциальная энергия за г чет выбора аддитивной постоянной нормируется так, что в положении равновесия V(0)=0.