Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

232 ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВГСИЯ

получаем последовательность точек ak = (q(tk), q(tk)). Поскольку последовательность ак ограничена, из нее можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть as = (q(ts), q (ts)) — указанная подпоследовательность, и пусть

as-*a* = (q*, q*).

ференциальных уравнений от начальных данных. Уравнения же Лагранжа всегда алгебраически разрешимы относительно старших производных, и предполагается, что для них теорема эта верна. Мы пришли к противоречию, показывающему, что предположение Е ^ ^ О ошибочно. Теорема доказана.

При доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости консервативной системы и только что доказанной теоремы об асимптотической устойчивости диссипативной системы мы нигде не использовали того факта, что функция Е имеет смысл механической энергии системы. При доказательстве теоремы Лагранжа были использованы лишь следующие три свойства функции Е:

1) функция Е положительна во всех точках е-окрестности начала координат фазового пространства и обращается в нуль

водной точке —в начале координат;

2)функция Е непрерывна в начале координат;

3)производная по времени от функции Е, вычисленная при любом движении, происходящем в е-окрестности, равна нулю всюду в этой окрестности, кроме начала координат.

Условие о том, что в рассматриваемой точке функция V{q)

имеет строгий минимум, понадобилось нам только для того,

удовлетворяющая этим условиям, называется функцией Ляпунова. Заметим, что если для системы уравнений (40) известен какойлибо первый интеграл, т. е. функция, которая при движении системы не изменяется, и если эта функция непрерывна в малой

в силу тех же уравнений (40), заведомо равна нулю. Поэтому наличие первого интеграла, удовлетворяющего указанным выше условиям, гарантирует устойчивость равновесия системы (40) (разумеется, не асимптотическую). Полная энергия консервативной системы как раз является примером интеграла такого рода. Из этого замечания сразу следует, что полная энергия консервативной системы не является единственным примером первого интеграла, который может быть использован для доказательства устойчивости.

рассмотрим задачу об устойчивости перманентных вращений твердого тела, движущегося по инерции относительно неподвижной точки. В гл. V было показано, что уравнения движения по инерции тела с неподвижной точкой можно записать так:

(42)

Переменными в этом уравнении являются р, q, л—проекции вектора угловой скорости ю на оси | , т), £ системы координат, жестко связанной с телом; эти оси выбраны по главным осям инерции тела (см. гл. V), а А, В, С —константы. В гл. V перманентными вращениями были названы движения, которые происходят в одном из следующих трех случаев:

Иначе говоря, перманентными называются вращения, которые происходят с постоянной угловой скоростью вокруг одной из

которых она может служить функцией Ляпунова для рассматриваемой задачи. С другой стороны, легко видеть, что производная dV/dt, вычисленная в силу уравнений движения, тождественно обращается в нуль, т. е. выбранная функция является первым интегралом уравнений движения. Хотя теперь функция У и не является полной энергией системы, мы, применяя теорему Ляпунова, сразу устанавливаем, что перманентное вращение 1° устойчиво.

но заменив у членов, стоящих вне квадратной скобки, знак плюс на минус, вновь приходим к тому же выводу.

В гл. V было показано, что коэффициенты А, В и С представляют собой моменты инерции относительно осей | , TJ, £ соответственно. Отсюда сразу следует, что при движении тела с неподвижной точкой перманентное вращение вокруг тех главных осей, относительно которых момент инерции наименьший и наибольший, будет устойчивым. Применяя теорему Четаева о неустойчивости, можно показать, что перманентное вращение вокруг третьей оси (момент инерции относительно которой —средний по величине) неустойчиво.

Теорема Ляпунова позволяет установить, является ли исследуемое положение равновесия в общем случае устойчивым (либо асимптотически устойчивым) в зависимости от того, можно, или нельзя подобрать функцию Ляпунова для конкретной рассматриваемой задачи. Сама по себе теорема не дает каких-либо рекомендаций в отношении того, каким образом можно выяснить

236 ГЛ. VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

вопрос о существовании такой функции. Известны, однако, теоремы, обращающие теорему Ляпунова, т. е. устанавливающие, что во всех случаях, когда имеет место устойчивость, такая функция заведомо существует. Поэтому каждый раз при проверке устойчивости с помощью теоремы Ляпунова возникает творческая задача, которая не может быть решена с помощью какого-либо наперед заданного алгоритма, —найти такую функцию и тем самым установить устойчивость. Разумеется, если это сделать не удалось, то это еще не значит, что равновесие неустойчиво, так как остается открытым вопрос: нельзя ли каким-либо иным способом все же найти функцию Ляпунова для рассматриваемой задачи. В этом смысле использование теоремы Ляпунова —дело опыта и удачи. Однако значение этой теоремы состоит не только в том, что она дает в руки исследователя средство для творческого решения задачи, но и в том, что, опираясь на нее, можно

§ 6. Движение консервативной системы в малой окрестности положения равновесия

(в линейном приближении)

В предыдущем параграфе мы исследовали лишь вопрос об

которые протекают Еблизи положений устойчивого равновесия. Будем считать, что начальные отклонения лежат в столь малой окрестности начала координат фазового пространства, что в силу устойчивости движение не выходит за пределы малой окрестности начала координат и с достаточной точностью описывается уравнениями линейного приближения (15).

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений