Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

обе матрицы А и С будут положительно определенными, и это обстоятельство позволит упростить получение решений и их анализ.

В линейной алгебре доказывается теорема о том, что две квадратичные формы, одна из которых является положительно определенной, могут быть одновременно приведены к сумме квадратов с помощью неособенного линейного преобразования

При этом после приведения все коэффициенты положительно определенной формы будут равны единице, а коэффициенты второй формы — действительным числам rt:

координат, а это свойство должно сохраняться при преобразованиях координат (45).

Координаты 8; (/ = 1, ... , п) также представляют собой обоб-

238 ГЛ VI. ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

каждой консервативной системы можно выбрать (и притом единственным образом) главные обобщенные координаты.

Приняв за обобщенные координаты главные координаты 91, ...

..., 6„ и получив поэтому Г и У в виде (46) и (47), подставим лагранжиан

Сравним теперь вековое уравнение det || С— гА || == 0

с характеристическим уравнением этой же консервативной системы

Они переходят одно в другое при — г = А,2, поэтому

Из того факта, что в рассматриваемом случае все корни rk векового уравнения являются действительными положительными числами, следует, что все 2п корней характеристического уравнения консервативной системы — чисто мнимые. Обозначим их так:

югда

г = — Я2 = — ( ± I)2 i2co2 = со2

и

Поэтому уравнение (51) можно переписать в виде

(52)

Числа со, называются собственными частотами изучаемой консервативной системы. Буквами С1 и q>, в выражении (52) обозначены произвольные постоянные, которые обычным образом опре* деляются через начальные условия.

Отсюда сразу следует, что функции qj(t) для всех /, вообще говоря, получаются суперпозицией п гармонических колебаний

ссобственными частотами щ. Эти гармонические колебания

( / = ! , . . . , п )

называются главными колебаниями системы. Можно выбрать начальные данные так, чтобы среди п чисел Сг, .... Сп только какоелибо одно, например СЛ, было отлично от нуля. В этом случае

т. е. в системе реализуется /i-e главное колебание. Наоборот, ни при каких начальных данных в системе не может быть реализовано гармоническое колебание, частота которого не являлась бы одной из собственных частот. Поэтому если каким-либо образом удается указать начальные данные, при которых в системе реализуется некоторое гармоническое колебание, то расчет системы при этих начальных данных позволяет определить одну из собственных частот. Этот прием иногда позволяет найти все собственные частоты системы.

В качестве примера рассмотрим малые колебания двух одинаковых плоских маятников, связанных пружиной (рис. VI. 11, а). Интуитивно ясно, что если отклонить маятники на один и тот же угол а и отпустить их затем с нулевыми начальными скоростями (рис. VI. 11, б), то во время колебаний длина пружины меняться не будет, и, следовательно, маятники будут колебаться одинаково, так, как они колебались бы, если бы не были связаны пружиной. Отсюда сразу следует, что одной из собственных частот этой системы является собственная частота одного из маятников при отсутствии пружины.

Интуитивно ясно также, что если отклонить маятники на одинаковые углы в противоположные стороны (рис. VI. 11, в), то колебания маятников также будут гармоническими. Они противоположны по фазе, но совпадают по амплитуде и частоте. Средняя

240 ГЛ VI ДВИЖЕНИЕ ВБЛИЗИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ

точка пружины при этом останется неподвижной. Поэтому вторая собственная частота системы будет равна собственной частоте, которую имел бы один из маятников при наличии пружины половинной длины с закрепленным вторым концом, т. е. пружины,

У///////////////,

Какая-либо функция qh (t) может не содержать главного колебания с какой-либо собственной частотой <лг (и притом при любых начальных условиях), если vhr = Q. Даже если все элементы амплитудной матрицы отличны от нуля, все же может случиться, что главное колебание с собственной частотой и>г отсутствует в выра-