Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 974

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

307

и каждое значение t=~t выделяет контур, охватывающий эту трубку. Если выражения (92) подставить в (90), то из того факта, что /j —инвариант, сразу следует, что

Меняя порядок выполнения операций d/dt и S и интегрируя два последних слагаемых по частям1), получаем

где

dA'

- д л '

 

ИГ - ~W

 

dB,

дВ, \ дВ/

\ дВ,

Подставим эти выражения в равенство (93) и изменим порядок суммирования; это дает

fdq, dBfd

dB>dp/

Заменив в первом контурном интеграле индекс / на к и сгруппировав члены, содержащие множителями б<7*. и Ьрк, можно

') Интеграл берется по замкнутому контуру, и поэтому при интегрировании по частям проинтегрированная часть обращается в нуль,

11*

308 ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

записать 5то равенство так:

[

1

(

 

+

\ d A k

 

V \дА>

dq>

i дВ>

W * dt + dpk dt jjj - U-

Подставим сюда выражения (94) для dAk/dt и dBkjdt (предварительно поменяв местами индексы k и /):

dq, dqhj + Zi dt [dp, dq

 

 

 

 

 

ЗАЛ \dP/(dBk

дВ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- ^ ! \ \ = 0 -

( 9 6 )

Введем

обозначения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дАь

дА,

 

 

dBk

dAj

 

 

 

kl

 

dq/

dqk

'

У

dq/

дрь '

 

 

.

 

 

™*

дВ,

п

 

 

 

в них

равенство

(96)

принимает вид

 

 

 

 

 

 

ф Ц

 

 

 

О,

 

(98)

где

 

 

с

*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дАк

V

 

1йЧ,

dp,

 

 

 

 

 

 

дВк

УЛ/dq,

dp

 

 

Равенство (98)

должно

выполняться на любом контуре С

(т. е.

при любом

/). Это

возможно

лишь

в том случае,

когда

подынтегральное

выражение

является

полным дифференциалом,

т. е. когда при

любых k и

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^

 

= ^

 

 

ПОП

dqv

dqk'

^ 1 U 1 >

§ 7 ИНТЕГРАЛЬНЫ? ИНВАРИАНТЫ

309

Исследуем

подробнее равенства (101). Подставляя в них выра-

жения

(99) для у,, и учитывая,

во-первых, что

 

д

 

дАк _

 

_ d _ dAy_ __

d

!dAk

__

дА,

 

 

dqv

 

dt

 

dq/i

dt

dt

\ dqv

 

dq^

 

а, во-вторых,

 

что q

и р

удовлетворяют

уравнениям Гамильтона

 

 

 

 

 

dq,

дН

dp,

 

 

дН

 

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d у

, d

у

1дН

у

_

дН г,

\ ^ ^ 5

VI

/ЙЯ у

_ дН

Заметим, что эти равенства имеют

место при любом выборе

функции Я. Функции Л и В (а следовательно, и функции Y и R)

в силу

универсальности интегрального инварианта (90) не зависят

от Я, можно поэтому установить общие свойства функций Y и R,

выбирая функцию Я

каким-либо специальным образом. Восполь-

зуемся

этим

обстоятельством и, задавая различные функции Я,

выясним условия, которым удовлетворяют функции Y и R.

1. Пусть

Я = const, тогда равенство

(104)

принимает вид

 

 

 

 

 

 

dYkv

 

А

 

 

 

2 Пусть Я = ^]а;<7/; тогда с учетом (105) равенство (104) записывается так:

и поскольку а/ могут выбираться произвольно,

 

 

3. Пусть Я

не зависит от р (так что д Я / д р ; = 0 (/==1,

..., п))

и

зависит

от q

так, что

 

 

 

 

 

 

3—3

= Щт = COnSl.

 

 

 

 

dqt dqm

l

m

 

В

этом случае

из (104)

с учетом

(105) и (106) следует, что

 

 

 

 

 

i

 

i

 

Числа alm

могут быть

выбраны

произвольно, но так, что ат, ~

•=а1т. Полагая a v y = a / v = 0,

получаем

 

 

 

 

Ry=0

при v^i;

(107)

310

ГЛ

VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

 

полагая

же акк

= а^Ф0,

находим, что

 

 

 

 

Rkk = Rvv

(108)

Теперь

равенство (104) сводится

к виду

 

 

 

 

 

"Yvj.

(109)

4. Пусть Н = ^iy]pJ\

тогда

из равенства (109),

к которому

свелось

равенство (104), следует, что

 

 

 

 

 

dYvl

 

 

 

 

i^-HqT-

<1 К ) )

5. Пусть Я не зависит от q и зависит только от р и притом так, что

тогда, рассуждая так же, как в случае 3, находим, что

Ykf = 0 при k Ф /.

Вспоминая, что YkJ является разностью (см. формулу (97))

_ дАк ЗЛ,

устанавливаем, что при любых k и j

dAft dAj dqt dqk'

Очевидно также, что yftft = yv v = 0. Итак,

у

--Y

__ А

у — о

п п и

Ь ^ ;

Л 1 П

'

kk — ' л

—• и ,

' kj — и

п р и

к =f=- j .

(ill)

В связи с тем, что А и В входят в исходные соотношения (97) симметрично, совершенно аналогичные рассуждения приводят к равенствам

2AA = Z / y = 0 ,

ZbJ=0

при кФ1,

(112)

т. е. при любых k и /

 

 

 

дВк

дВ/

 

 

dPi

дрк

'

 

Равенства 1° и 2° доказаны.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о р а в е н с т в а

3°.

Воспользуемся теперь

равенством (103). С учетом (107), (111)

и

(112) оно дает

§ 8. КАНОНИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

311

Учитывая, что Rvv

— Rkk> получаем

равенство

dRkk

dRkkdH

.

dRkkdH

= Q

dt

дрх dqk

'

dqk

dpv

'

верное при любом Н.

 

 

 

 

Положив

Н = const,

имеем

dRkk[dt = Q; приняв

H = H(q) и

dH/dq^O,

получаем

dRkk/dpv

= 0;

в случае же

Н = Н(р),

дН/др;фО имеем dRjdqk

= 0, поэтому

окончательно

 

 

oRw

ORvv

dRvv

л

 

 

dt

~~dq~

W~

'

 

откуда следует, что

i?vv = с = const.

Учитывая, что Rkv = 0 для v=^A, получаем i?Vft = 5vftcv» где 6vft — символ Кронекера, причем в силу (108) константа cv при любому

имеет одно и то же значение с. Следовательно,

dAv dBk_ fi

и равенство 3° доказано. Таким образом, полностью доказана и теорема Ли Хуачжуна.

§ 8. Канонические преобразования

Уравнения Лагранжа

ЖЩ-Щ =° 0 = 1..-.. «)

ковариантны по отношению к любым преобразованиям координат q, t (см. стр. 280). Это значит, что как бы ни были выбраны преобразования q и t, для новых координат qf, l* всегда может быть указан лагранжиан L*, такой, что в новых координатах уравнения движения имеют вид

d dL* dL* r,

.. ,

.

0

o

i п )

Естественно возникает вопрос: по отношению к какому классу преобразований q и р ковариантны уравнения Гамильтона? Класс преобразований q, p, по отношению к которым уравнения Гамильтона ковариантны, называется классом канонических преобразований. Разъясним это определение подробнее.

Рассмотрим преобразование <7/=Ф/(<7. Р, 0. Р*= ЫЯ> Р. 0 (/ = 1. •••. «).

которое переводит «старые» гамильтоновы переменные q и р в «новые» гамильтоновы переменные q* и р* (время при этом не

Смотрите также файлы