Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

298

Г Л

vil ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

в плоскости

?= const

(рис. VII.9), и «выпустим» из этого

контура

трхбку

прямых путей

некоторой

системы с гамильтонианом Hv

Введем теперь в рассмотрение какую-либо другую динамическую

систему

с гамильтонианом Я2 и «выпустим» из этого же контура

;

.1 i

»

трубку прямых

путей

'.

1\\

\н

У*

э т о и системы. Разумеет-

/ \1 W X.

~~ZZ7*~~?

7 ся> эт о ^УДУТ

Р а з н ы е >

/

Н—V \>ч У^~/_~~7^'/ несовпадающие

трубки

/

Г\ \ \^\^~^5%s*^/

прямых путей, хотя и

4

I \ \^5<£^?*^5^н,

«выпускаются» они из

Ы*" к^.r\~j£

~7

одного и того

же кон-

— '

г^

/

тура.

Выберем

теперь

£j

/

произвольный

момент

'

^з,

времени

t = tL и прове-

дем плоскость t1 = const,

пересекающую

эти две

Рис. VII.9

трубки прямых путей; в

сечениях получатся два

охватывающих

этитрубки

«одновременных»

контура. Контурный

интеграл (86), взятый по этим

различным контурам, будет оди-

наков и будет в точности

равен

контурному

интегралу,

взятому

по начальному

контуру;

это утверждение

остается в силе для

любой

плоскости t = const.

В

этом смысле контурный интеграл (86) является универсаль-

ным, не зависящим от того, каково потенциальное поле, в кото-

ром

движется

система1), и поэтому

называется универсальным

интегральным инвариантом Пуанкаре2).

3.

Обратные теоремы

теории

интегральных инвариантов. Для

интегральных инвариантов Пуанкаре и Пуанкаре — Картана верно

обратное утверждение.

Т е о р е м а .

Если

контурный

интеграл

(86) не

зависит от

выбора контура

С, охватывающего при t = const

трубку

решений

системы уравнений

4/*=Qj(q, p,t),

Pj = Pj(q,p,t)

(j = l,

...,n),

(87)

J) Благодаря

тому, что гамильтониан Н вообще

не входит в выражение

для инварианта

Пуанкаре,

этот инвариант

не зависит от Н, какова бы ни

была

эта функция от q, p и /. В частности, она может не удовлетворять

условию

«Jet

д'Н

"

ФО

dpjdpk

/ , A = I

§ 7 ИНТЕГР\ЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

294

то эта система гамильтонова, т. е. существует

такая функция

Я* (q, р, t),что

Если, кроме того, существует такая

функцияF(q, p, t),что

на трубке решенийсистемы (87) контурный интеграл

$(y]pj dqj— F (q, p,

t) dt)

с

'

Доказательство. В силу

условий теоремы dJjdt = 0, т. е.

(dp,

d8

п дН* п

дН* ,. ,

.

^ = Ф 7 -

р> = —щ;

(/= 1« •••• ")•

<*\ ( 2 PJ dclj ~ H* dt) =c o n s t -

(8 9 )

300

ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

с

£

Из этого равенства следует, что

O,

d\p/dpf

= O,

/ = 1

я,

т. е. что

функция г|э не

зависит

от q и р, а зависит только

от t,

и что

Теорема

доказана полностью.

В силу этой теоремы интегральный

инвариант Пуанкаре —

Картана

(так же, как и принцип Гамильтона) может быть

поло-

координат

и импульсов,

и поэтому можно

предположить,

что

начальные данные системы в некоторый момент времени /0

задаются

точкой

А.

Применим

это

рассуждение ко всем точкам А{

обла-

сти So,

т. е. будем считать все точки этой области «начальными»

в момент времени t0.

Проведем из каждой точки Л,- области So

фазовую траекторию

и отметим

на каждой

из

этих траекторий

точку Bh

соответст-

§ 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

301

вующую некоторому

фиксированному моменту

времени t — to-{-%.

Точки

Bi

образуют

в фазовом

пространстве

новую

область Sx

(рис.

VII.10).

Таким

образом,

исходя

из

заданной в момент t0

области So

с объемом

Уо> можно построить область ST

с объемом Vx для

любого момента t —to-\-x, и в

этом смысле объем Vx

является

функцией t. Возникает вопрос о том, какой вид имеет эта функ-

ция VX = V (t), т. е. как изменяется фазовый объем

V

во время

движения системы. Ответ на этот вопрос дает

Теорема Л и у в и л л я .

Фазовый объем V не зависит от t,

т. е. является инвариантом движения.

Далее

мы докажем эту теорему, имеющую важное

приложе-

свойств

статистических

ансамблей.

Статистическим

ансамблем назы-

вается множество одинаковых дина-

мических

систем,

т. е. систем, опи-

сываемых

одинаковыми уравнениями

движения и отличающихся одна от

другой

лишь

благодаря

случайному

«разбросу» начальных данных.

Рассмотрим

теперь

некоторый

у

статистический

ансамбль. Поскольку

У

in

он состоит из

одинаковых

систем,

Ч<

фазовое пространство будет одним и

Р и с

V I j ] 0

тем же

для

всех

систем ансамбля.

В каждый момент

времени

каждая

система

ансамбля

определяет некоторую точку

этого

фазового

пространства, а все системы, принадлежащие

статистическому

ансамблю,— множество точек, т. е. некоторую область.

В раз-

личные

моменты

времени

состояния

всех систем ансамбля оп-

ределяют

различные области, и в этом смысле область,

характе-

ризующая

статистический

ансамбль, перемещается

в

фазовом

пространстве

во

время движения систем, образующих

ансамбль.

Выберем

в

фазовом

пространстве

элементарную область AS