Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 973

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

302

ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Если теперь выбрать в момент t0 малую область AS0, зафиксировать системы ансамбля, которые при t = t0 представляются точками области AS0, и далее вести наблюдение за ними (т. е. считать, что Аг неизменно) и учесть, что в силу теоремы Лиувилля объем AV также не меняется во время движения, то отсюда сразу следует, что отношение р не меняется во времени. Следовательно, плотность статистического ансамбля не меняется во время его движения, т. е.

р = const.

Это утверждение представляет собой иную формулировку теоремы

Лиувилля об инвариантности фазового объема.

 

В связи с тем, что

плотность статистического ансамбля зави-

сит только от фазовых координат и времени

и не зависит от

производных фазовых

координат, утверждение

р = const опреде-

ляет первый интеграл уравнений движения.

 

Приступим теперь

к доказательству теоремы Лиувилля. Эта

теорема сразу следует из свойства любых решений гамильтоновой

системы, которое устанавливает

следующая

 

 

 

Лемма . Пусть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ty(t; t0,

(/=1,

...,

п)

решения гамильтоновой

системы, при

заданных

t0

и t опреде-

ляющие преобразование q°, р° в q, р. Тогда якобиан

J (t0, t)

этого

преобразования

равен единице при любом t.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Произвольно выберем начальные

дан-

ные t0,

и р°. Тогда указанное преобразование при t = t0

опре-

деляет

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(/ = 1

п),

 

 

 

 

т. е.

является

тождественным

преобразованием.

Поэтому

при

t = t0

якобиан

J является определителем

единичной матрицы Е,

иутверждение леммы тривиально. Определитель J имеет вид


 

§ 7 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

305

Подсчитаем

теперь, чему равна производная dJ/dt1)

при t = t0.

Вспоминая,

что производная определителя равна сумме опреде-

лителей, каждый из которых получается дифференцированием одной из строк, имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dJ

у

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

di=

L

Jk'

 

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

(*)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Jb

=

&Я{

"

^п

dpi '"

драп

k-я

строка.

 

Здесь

определитель

Jk

 

выписан для

ks^n,

а символ (*) означает,

что

в

соответствующей

 

части

определителя

Jk стоят те

же эле-

менты, что и в исходном определителе

J.

 

 

 

 

Учитывая,

что

J = detE

при t = t0,

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k-й

столбец

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 о

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k-я

строка,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0 ...

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

1 ...

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О

...

1

 

 

 

где

символ А

заменяет

в k-я строке

элементы,

значения кото-

рых

не играют

роли

в дальнейших

рассуждениях. Раскрывая

этот

определитель

 

по элементам &-го

столбца, в случае

l k

получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г / 1

 

_

(dlfk\

_

1Цк\

 

 

 

 

 

 

 

 

YJk\t=t0

hj^i

 

— I Л/То"

 

 

 

 

В случае n

 

 

 

аналогично имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Vk\t

= t

= (дЛл\

=

(дЁк\

 

 

 

 

1) Мы подсчитываем полную (а не частную) производную dJ (/0, 0/^'. поскольку <0 рассматривается как параметр,


304 ГЛ. VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

поэтому

л

A

i ml-*.ш\

к — I

/ — 1

Заменяя в этом равенстве 4/ и pj их выражениями из канонических уравнений Гамильтона, получаем

 

\dJ(t0,

0]

 

__

у

 

/ д

дН(д, р, t)

 

d

dH(g, p, t)\

_

 

 

 

L

 

At

J< =/.

L\dq)

 

 

dPj

 

 

dp)

d

 

j ~

 

 

 

 

 

 

 

 

^ Д

 

 

\

p\

t0)

 

 

 

dp«.dq«.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j

^

 

 

 

 

 

 

 

Таким

 

образом,

в

момент

t = tQ

мы

имеем

J (t0,

to) =

l

и

[dj (t0,

t)/dt]t=to

= O.

Заметим,

что

t0 было выбрано произвольно

и в качестве начальной может быть

взята

любая точка

t = t1

фазовой траектории. В силу

этого [dJ {tu

/)/<#]<=<, = 0 для любого

t = tt.

Пусть теперь

to<it1<ct. Для

того

чтобы

по известным^

в момент t0

q0

и р0

определить q и р

в момент /, можно исход-,

ные

формулы

преобразования использовать

дважды: сначала

по

<7о,

Ро и

^о найти qlt

рг

 

и /1(

а затем

принять qx,

рг и tx за на-

чальные

и определить

q, p и t. При последовательном

выполне-

нии

преобразований

 

их

якобианы

перемножаются,

так

 

что

J{tQ,

t) = J(t0,

tJJih,

 

t); поэтому

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(J

 

 

 

 

 

 

 

ffdJ

(flt

Q

 

 

 

 

 

 

 

 

\di

 

}t~tt-J

 

h)\

 

At

 

 

 

 

 

 

Но

выше было

показано,

что

dJ (tx,

t)/dt = O при любом /= /г.

Следовательно,

и (dJ (t0,

t)/dt)t =

tl = O. Таким образом, показано,

что

Л =л,= 1 и dJ/dt — O при любом t>t0.

Следовательно,

7 = 1

при всех /. Лемма доказана.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о

теоремы

Л и у в и л л я .

Выберем

в фазовом пространстве q, р замкнутую область So, соответст-

вующую t = t0

 

(рис.

VI1.10).

Фазовое

пространство

имеет

измерений, и

поэтому

объем Vo

области

So выражается

2/г-крат-

ным интегралом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Воспользовавшись формулой преобразования кратного интеграла при преобразовании координат, определим фазовый объем Vx

в момент t = to+x:

= s. \...\\Jldql...dq0ndpl...dpl


 

§ 7. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

305

Н о

в силу д о к а з а н н о й

леммы

У = 1 , поэтому

 

при

любом t. Теорема Лиувилля доказана.

 

 

5. Классификация интегральных инвариантов. Теорема Ли Хуа-

чжуна. Мы рассмотрели

лишь

три интегральных

инварианта —

инвариант Пуанкаре —Картана, универсальный инвариант Пуанкаре и инвариант «фазовый объем». В классической механике вводятся и иные интегральные инварианты, которые мы не будем

рассматривать,

а остановимся лишь на общей их классификации.

В тех случаях, когда

интегральный инвариант относится

к какому-либо

замкнутому

контуру, он называется относитель-

ным. Интегральные инварианты Пуанкаре —Картана и Пуанкаре являются относительными, а инвариант «фазовый объем» таковым не является.

Инварианты, не содержащие гамильтониана и, следовательно,

^охраняющиеся

для всех динамических систем, движущихся

& потенциальных

полях, называются универсальными. Инвариант

Пуанкаре и инвариант «фазовый объем» — универсальные, а инвариант Пуанкаре —Картана не относится к универсальным.

Порядок инварианта определяется размерностью множества, по которому производится интегрирование. Инвариант Пуанкаре— Картана и универсальный инвариант Пуанкаре являются инвариантами первого порядка, так как интегрирование в этих инвариантах производится по одномерному множеству (поконтуру). Инвариант «фазовый сбъем» является инвариантом 2я-го порядка, так как интегрирование производится по 2я-мерной области —фазовому объему.

Универсальный интегральный инвариант Пуанкаре имеет вид

Универсальный относительный интегральный инвариант первого порядка в общем виде можно было бы записать так:

Л = $ 2 [Л, (q, p, t) bq,+ В, (q, р, t) Ьр,].

(90)

с

 

Естественно возникает вопрос: существуют ли универсальные относительные инварианты первого порядка Jlt отличные от инварианта Пуанкаре J{? Ответ на этот вопрос дает теорема, доказанная Ли Хуачжуном.

Теорема . Любой универсальный относительный инвариант первогопорядка ]г может отличаться от инварианта Пуанкаре

11 М. Л, А(Ъермаи


306

ГЛ VI! ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

лишь постоянным множителем, т. е, для любого Ji существует константа с такая, что

Д о к а з а т е л ь с т в о . Доказательство теоремы Ли Хуачжуна

сводится к

доказательству следующего утверждения:

из того

факта, что

Д —относительный универсальный интегральный инва-

риант, следует, что

 

 

2 [ ( Л - с Д ) Ч - Ь Я / в Р у ] = 6Ф.

(91)

где с = const, т. е. сумма, стоящая в левой части равенства (91), является полным дифференциалом некоторой функции Ф(д, р, t). Иначе говоря, это утверждение означает, что при любых / и k выполняются равенства

 

 

 

dlL~d

 

 

 

 

 

dp

~

dp, '

 

 

oc

 

d(AjcPj)

dBk

 

dAj

 

dBk

3 °

 

 

L _

и л и

' = с §

i

 

 

dpk

dq, '

 

dpk

J"

' dq, '

где 8jk

символ Кронекера.

 

 

 

 

Действительно,

если это

утверждение

справедливо, то, пред-

ставляя

(91) в виде

 

 

 

 

 

 

2 [Aj 8qj + Bj 8p}] = с £ Pj

8qf +

и интегрируя это равенство по любому замкнутому контуру С, немедленно приходим к утверждению теоремы Ли Хуачжуна:

f 2 Щ bq, + В, Ьр,] = c§J^p,bq,.

с

с

Таким образом, наша задача сводится к доказательству равенств 1°-3°.

Д о к а з а т е л ь с т в о р а в е н с т в 1° и 2°.

Если гамильтониан H(q, p, t) и начальный контур

выбраны произвольно, то решения уравнений Гамильтона определяют трубку прямых путей

'о («). 0» Р= Р (%(«). Ра(а). М«), *>

(9 2 )