ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 978
Скачиваний: 3
322 |
ГЛ. VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ |
Заметим также, что преобразование «растяжения координат»
представляет собой каноническое преобразование валентности 1/с1). Поэтому, если задано преобразование
? = /(<?*> Р. 0. Р = Ф(<7*. Р. 0
и известно, что оно является каноническим и имеет валентность с, то можно выписать преобразование
q = f(q*/c, p, t), p = y(q*/c, p, t),
валентность которого равна произведению (1/с)с=1, т. е, унивалентное преобразование. Поэтому каждому неунивалентному преобразованию можно поставить в соответствие унивалентное, но для этого надо знать валентность с исходного преобразования.
§9. Уравнение Гамильтона — Якоби
Впредыдущем параграфе было установлено, каким образом можно заданную систему с некоторым гамильтонианом Н преобразовать в другую систему с наперед заданным гамильтонианом
Н* —для этого надо «старый» и «новый» гамильтонианы подста-
вить в |
уравнение (127), найти из него производящую |
функцию |
||
S и при помощи этой |
функции определить (так, |
как |
это было |
|
указано |
в предыдущем |
параграфе) преобразование, |
переводящее |
|
систему |
со «старым» гамильтонианом в систему, имеющую «новый» |
|||
гамильтониан.
Попробуем воспользоваться теперь этой возможностью, чтобы выработать единый метод, позволяющий заменить систему с некоторым гамильтонианом системой с наиболее простым возможным гамильтонианом, а именно с гамильтонианом, тождественно равным нулю. Если бы это оказалось возможным, то в «новых» переменных движение описывалось бы гамильтоновой системой
^ _ ^ ! _ п |
dpf - |
дН* |
- п |
dt ~ dpj |
' dt ~~ |
dqj |
~~ ' |
т. е. движение в «новых» переменных состояло бы в сохранении неизменными всех обобщенных координат и обобщенных импульсов
qf t=af = const, p* = P/ = const |
(/= 1, ..., я). |
(130) |
Зная это «движение в новых переменных», можно было бы при помощи формул (128) найти движение в исходных переменных
Это легко проверить при помощи критерия каноничности (см. выше).
§ 9 УРАВНЕНИЕ ГАМИЛЬТОНА — ЯКОВИ |
323 |
||
и, казалось бы, |
таким образом |
обойти трудности, |
связанные |
с интегрированием канонических |
дифференциальных |
уравнений. |
|
Попробуем, однако, реализовать эту программу. При Я* = 0 |
|||
уравнение (127) |
принимает вид |
|
|
|
! + сЯ |
= 0. |
(131) |
В этом уравнении «старый» гамильтониан является функцией «старых» гамильтоновых переменных q, p. и /. Однако, используя первую группу равенств (126), можно все р, входящие в функцию Я, заменить через dS/dq. Тогда уравнение (131) примет вид
1 |
dS[ , |
u ( |
l d |
S |
Положив S~S*c, |
получим уравнение |
|||
|
|
|
|
(132) |
Вспомним теперь, что |
искомая |
производящая функция S* |
||
является функцией |
q, q*, |
t. Но |
если бы функция, удовлетво- |
|
ряющая уравнению (132), была бы найдена, то, как уже говорилось выше, q* и р* были бы константами. Поэтому интересую-
щая нас функция S* |
должна |
зависеть |
помимо п констант alt ... |
||
..., а„ |
(они входят |
вместо |
q*) лишь |
от «старых» |
координат q |
и от t. |
Теперь видно, что уравнение (132) является |
уравнением |
|||
в частных производных относительно |
искомой функции 5*. Это |
||||
уравнение в частных |
производных называют уравнением Гамиль- |
||||
тона— Якоби. |
|
|
|
|
|
Для решения интересующей нас задачи нет нужды находить общее решение уравнения Гамильтона —Якоби. В силу сказанного выше нас интересует любая функция от q и t, удовлетворяющая тождественно этому уравнению и зависящая от п констант. Вспомним еще, что производящая функция должна удовлетворять условию (129). Теперь, когда вместо переменных q* функция S* зависит от п констант а, это дополнительное условие может быть переписано так:
|
(let |
ФО. |
(133) |
Любая функция S* (q, a, |
t), обращающая |
уравнение (132) |
|
в тождество, |
зависящая от п |
констант а и |
удовлетворяющая |
условию (133), |
называется полным интегралом уравнения (132). |
||
Для наших целей достаточно найти любой полный интеграл уравнения Гамильтона —Якоби.
324 |
ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ |
Мы |
не будем здесь входить в детали, связанные с интегри- |
рованием уравнений в частных производных, и предположим лишь, что каким-либо образом полный интеграл уравнения (132)
определен, т е. найдена функция S* (q, a, |
t), удовлетворяющая |
||||||
условию |
(133) |
и |
обращающая |
уравнение |
(132) |
в тождество. |
|
Тогда, подставляя |
|
в формулы |
преобразования, |
порожденного |
|||
функцией |
S = cS*, |
т |
е. в формулы (126), «новые» гамильтоновы |
||||
переменные (в |
силу |
выбора Я* = 0 это константы (130)), полу- |
|||||
чаем формулы |
преобразования в следующем виде: |
|
|||||
|
dS* |
|
dS* |
|
|
(134) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу того, что функция S* как полный интеграл уравнения (132) зависит только от q, а и /, равенства (134) определяют конечные соотношения между q, p u t, зависящие от 2/г констант а, и ру Таким образом, равенства (134) задают в неявной форме движение в «старых» координатах Они являются, следовательно, интегралами исходной системы уравнений Гамильтона1)
q, = Ф ; (*, а, Р), Pj = г|>, (t, a, P) |
(/ = 1, ..., л). (135) |
Итак, мы реализовали намеченную в начале этого параграфа программу и определили движение системы, обходя интегрирование канонических уравнений Гамильтона. Правда, при этом нам понадобилось найти полный интеграл уравнения в частных производных.
Обратим теперь внимание на следующее обстоятельство. В координатном пространстве в каждый момент нас интересует положение лишь одной движущейся в нем точки—она определяется мгновенными значениями обобщенных координат рассматриваемой системы. Между тем полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби в каждый момент определяет функцию S*, заданную во всем координатном пространстве и имеющую вполне определенное значение в каждой точке этого пространства. В связи с тем, что функция S* зависит также и от времени, можно представить себе ее как некоторую поверхность, заданную в координатном пространстве и непрерывно деформирующуюся (или движущуюся). Каким же образом задание функции, определенной на всем пространстве и изменяющейся во времени, может определить движение той единственной точки, которая интересует нас? Как связано движение этой точки с деформирующейся поверхностью?
*) Существует бесконечное число полных интегралов уравнения Гамиль- тона—Якоби (132) Каждый из них порождает соответствующее преобразование, т. е. определяет движение, но все они описывают одно и то же движение и различаются лишь тем, как вводятся произвольные постоянные а.
§ 10. ДВИЖЕНИЯ В СТАЦИОНАРНОМ ПОЛЕ |
325 |
Чтобы ответить на эти вопросы, обратим внимание на первую группу равенств (134). Эта группа равенств указывает, что импульсы р, являются составляющими /1-мерного вектора р, в каждый момент совпадающего с градиентом функции S*,
p = |
gradS*. |
|
||
Точка движется в каждое |
мгновение |
так, |
что импульс совпадает |
|
с градиентом функции 5* |
в |
этой |
точке. |
Теперь легко понять, |
каким образом функция, заданная во всем координатном пространстве и изменяющаяся во времени, может определить движение точки в пространстве: где бы ни находилась эта точка, значение gradS* в данном месте пространства и в данный момент времени определяет направление импульса, а значит, и направление вектора, компонентами которого являются обобщенные скорости.
Уравнение Гамильтона —Якоби в классической механике используется, главным образом, в тех случаях, когда по какимлибо причинам легче найти полный интеграл этого уравнения, чем проинтегрировать канонические уравнения. Примеры такого рода будут приведены в следующем параграфе. Роль уравнения Гамильтона — Якоби для теоретической физики состоит в том, что уравнение Шредингера, являющееся основным уравнением квантовой механики, в пределе переходит в уравнение Гамильтона — Якоби классической механики. Именно через уравнение Гамиль- тона—Якоби устанавливается контакт между классической и квантовой механикой.
§ 10. Движения в стационарном потенциальном поле
(консервативные и обобщенно консервативные системы)
Во всех предыдущих параграфах данной главы мы рассматривали движение системы в потенциальном поле, но не требовали, чтобы поле это было стационарным. Именно поэтому мы предполагали, что лагранжиан, гамильтониан и иные функции, встречавшиеся нам по ходу изложения, могут зависеть явно от времени. В этом смысле изложенный выше материал охватывал движения в нестационарных потенциальных полях и, в частности, движение в потенциальном поле системы, имеющей механические реономные связи. Для случая, когда система натуральна, связи склерономны и поле стационарно, т. е. когда потенциальная функция не зависит явно от времени, выше было установлено лишь то, что гамильтониан совпадает с полной энергией системы. Отправляясь от этого факта, мы ввели понятие обобщенно консервативной системы как такой гамильтоновой системы, в которой гамильтониан не зависит явно от времени, а сам гамиль-
326 |
ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ |
тониан в этом случае назвали обобщенной энергией. В этом параграфе будут рассмотрены некоторые особенности, которые возникают при изучении движения в стационарных потенциальных полях, т. е. при движении консервативных и обобщенно консервативных систем.
Мы установим сначала, какую форму принимает для таких систем интегральный инвариант Пуанкаре — Картана; после этого рассмотрим, как записать для них систему уравнений, вид которой напоминает уравнения Лагранжа или уравнения Гамильтона, но порядок ниже (за счет использования интеграла энергии); далее выясним, как выглядят в этом случае вариационный принцип Гамильтона и уравнение Гамильтона — Якоби и какие возможности открываются для определения полного интеграла этого уравнения.
Прежде чем приступить ко всему этому, сделаем одно общее замечание. При движении консервативной системы заведомо известен один первый интеграл — интеграл энергии. Это дает возможность понизить порядок системы уравнений на единицу. Но мы уже видели при использовании циклических координат (см. § 3 этой главы), что в системе, имеющей г циклических координат, порядок системы уравнений можно понизить на 2г и независимо выписать г квадратур.
Ранее |
мы неоднократно обращали внимание читателя |
на то, |
||
что Н |
(соответственно |
Е) играет роль «импульса для |
коорди- |
|
наты |
h. |
Естественно |
возникает мысль, нельзя ли и |
в слу- |
чае консервативной системы использовать имеющийся первый
интеграл для того, чтобы |
понизить порядок системы уравнений |
не на единицу, а на два, |
и ввести независимую квадратуру. |
Это оказывается возможным, если воспользоваться тем обстоятельством, что лагранжиан (или гамильтониан) систелы не зависит явно от времени, и поэтому из уравнений можно исключить время. Это значит, что роль времени тогда должна играть какаялибо из координат q, например, qx. В результате интегрирования таких уравнений остальные координаты должны быть выражены как функции этой специально выделенной координаты, а их зависимость от времени вводится затем отдельно при помощи одной квадратуры, определяющей зависимость выделенной координаты <7Х от t. Далее будет показано, как, используя этот прием, можно понизить порядок системы дифференциальных уравнений, описывающих движение консервативной и обобщенно консервативной систем, на два и ввести независимую квадратуру.
1. Интегральные инварианты и уравнения движения консервативных и обобщенно консервативных систем. В связи с тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем имеет место интеграл энергии (обобщенной энергии), гамильтониан, совпадающий с энергией (сбсбщенной энергией) системы, не изме-