Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

стью консервативных и обобщенно консервативных систем является то, что во время движения системы точка, изображающая это движение в расширенном фазовом пространстве, может находиться лишь в этом «изоэнергетическом подпространстве». Если при выводе

) я c o n s t >

где, как и ранее, равенство контурлого интеграла константе надо понимать в смысле независимости этого интеграла от выбора контура, охватывающего трубку прямых путей. Но теперь

Последний контурный интеграл равен нулю как контурный интеграл от полного дифференциала, поэтому

§ Н dt = 0

с

и интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных и обобщенно консервативных систем записывается так:

(137)

Обращаем внимание читателя на то, что, несмотря на сходство записи, интегральный инвариант Пуанкаре —Картана для консервативных систем (137) не совпадает с универсальным интегральным инвариантом Пуанкаре,—ведь в случае инварианта Пуанкаре интегрирование производится по контуру С, расположенному в плоскости t = const, а в формуле (137) контурный интеграл берется по произвольному контуру С, охватывающему трубку прямых путей.

Используя это обозначение, можно придать инварианту (137) форму, подобную обычной форме интегрального инварианта Пуанкаре— Картана для неконсервативных систем:

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального инва-

тониана Н в этом выражении стоит функция К, которая получи-

шенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре —Картана

же отношениях, в каких интегральный инвариант (139) отличается от интегрального инварианта Пуанкаре —Картана: роль функции Н играет функция К, вместо t стоит qx и / меняется не от 1 до п, а от 2 до п. Полученные таким образом уравнения (140) для консервативных систем являются аналогом уравнений Гамильтона и называются уравнениями Уйттекера. Уравнений Уиттекера на два меньше, чем уравнений Гамильтона, и следовательно, использовав интеграл энергии и исключив время, нам удалось снизить порядок системы на две единицы.

Введем для консервативных и обобщенно консервативных систем удобный аналог функции Лагранжа. Эта функция должна быть связана с функцией К таким же образом, каким обычная

функция Лагранжа L связана с гамильтонианом Я . По аналогии с обычной формулой

введем функцию Р:

/ =2 £

Введенная так функция Р

(142)

называется функцией Якоби. В общем случае из уравнений Гамильтона сразу следуют уравнения Лагранжа с лагранжианом L, который связан с Н соотношением (141); число таких уравнений Лагранжа равно п. Совершенно аналогично из полученных теперь для консервативных и обобщенно консервативных систем уравнений (140) следует система уравнений

уравнениям Лагранжа эта система разрешима относительно старших производных и, следовательно, при обычных предположениях решение полностью определяется начальными данными.

которая с самого начала входит в выражение для К (либо для Р). Таким образом, мы определим

Для того чтобы выразить эти координаты и импульсы явно через время, подставим значения (144) в выражение (138) и найдем, таким образом, р^ как функцию ql и тех же констант:

С2Л_2; К). (145)

330 ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Воспользуемся теперь первым из канонических уравнений Гамильтона — уравнением для qt:

Правая часть этого равенства является функцией всех фазовых координат системы ц, р. Заменим здесь q2, ..., qn и р1у ..., рп выражениями (144) и (145). В результате правая часть равенства (146) будет представлять собой функцию только от q1 и от указанных выше констант:

^. = F{q1\ C L ... ,С 2 „ _ 2 ;Л),

ив полученном так уравнении переменные разделяются; следовательно, время можно ввести с помощью одной квадратуры:

При этом вводится еще одна произвольная постоянная С, так что общее число произвольных постоянных доходит до требуемых 2п.

Таким образом, поставленная задача полностью решена — при исследовании консервативных и обобщенно консервативных систем выписаны уравнения типа канонических уравнений Гамильтона (или типа Лагранжа), но порядок систем этих уравнений умень-

мени. В этом пространстве выберем две точки и проведем между ними прямой путь, соответствующий уравнениям Якоби для рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативной) системы.

Введенный так функционал W является аналогом действия по Гамильтону /. Он получается из действия по Гамильтону, если функцию Лагранжа заменить на функцию Якоби, t на ql и ограничить выбор пучка сравниваемых кривых изоэнергетическим

подпространством. Для введенного так функционала W уравнения Якоби являются уравнениями Эйлера вариационного исчисления (так же, как уравнения Лагранжа являются уравнениями Эйлера вариационного исчисления для действия по Гамильтону). Функционал (148) называется действием по Лагранжу. Из того факта, что уравнения Якоби являются эйлеровыми уравнениями для действия по Лагранжу, сразу следует, что вариация действия по Лагранжу равна нулю на прямом пути:

Утверждение это является аналогом принципа Гамильтона для консервативных систем и носит название вариационного принципа Мопертюи — Лагранжа.

В частном случае, когда рассматривается натуральная (т. е. консервативная) система, действию по Лагранжу можно придать определенный механический смысл. Вспомним с этой целью выражения для Р и К и представим функцию Якоби в виде

( 1 5 0 )

Но из обычного выражения для гамильтониана следует, что

2PW/ = tf + L,

поэтому

Подставляя это выражение в формулу (148) для действия по Лагранжу, получаем

' 6 ' ' d t =

где s, означает путь, пройденный t-й точкой системы. Выражение в правой части формулы (151) представляет собой, как легко видеть, работу векторов количеств движений системы на пройденном пути. Поэтому принцип Мопертюи— Лагранжа можно сформулировать так: для натуральной консервативной системы работа векторов количеств движенийна прямом пути достигает экстремального значения.