Файл: Айзерман М.А. Классическая механика (1980).pdf

Скачать файл (12,43Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 979

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

332	ГЛ. VII. ДВИЖЕНИЕ В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Интересная аналогия усматривается при сопоставлении принципа Мопертюи — Лагранжа для консервативных систем с известным принципом Ферма, устанавливающим путь луча света в неоднородной среде. Согласно принципу Ферма свет в неоднородной среде распространяется так, чтобы было минимальным время прохождения луча света через среду

t, _ Г ds

J v(s), s ) '

где v (s) — «местная» скорость путь. Если для каждой точки ления

света в каждой точке, a s — его среды ввести коэффициент прелом-

/ ч С

где с — скорость света в пустоте, то время t прохождения луча света можно записать так:

t =~ j n(s) ds.

и принцип Ферма сведется к требованию

б \n(s)ds =0.

Запишем теперь принцип Мопертюи — Лагранжа	для материаль-
ной точки массы т
Это выражение подобно тому, какое было получено из принципа
Ферма; надо только вместо количества движения	то рассматри-
вать функцию п. (s).

3. Уравнение Гамильтона — Якоби для консервативных и обобщенно консервативных систем. В случае консервативной (обобщенно консервативной) системы в уравнение Гамильтона — Якоби входит функция Я, не зависящая явно от времени. Поэтому

уравнение	это принимает вид
	( )	0	-	<1 6 2 >
Пусть,	как и ранее, h — начальная		энергия. Будем	искать
решение уравнения (152) в виде
	(qv ...,<?„;	a t ,	. . . , а„_1 ; Л),	(153)

	§ !0. ДВИЖЕНИЯ В СТАЦИОНАРНОМ ПОЛЕ			333
где	а —константы,	так что общее число констант с		учетом h
равно п. Уравнение		(152) после	подстановки в него выражения
(153) записывается так:
		,^)=	h = const.	(154)
	Уравнение (154)	и является	уравнением Гамильтона —Якоби
для	консервативных	(Н = Е — энергия системы) или		обобщенно

консервативных (Н —обобщенная энергия) систем. Таким образом, чтобы составить уравнение Гамильтона — Якоби для консервативной (обсбщенно консервативной) системы, нужно просто записать закон сохранения энергии (обобщенной энергии) и в выражении энергии заменить все импульсы частными производными искомой функции V по соответствующим координатам.

Предположим, что каким-либо образом удалось найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, т. е. функцию У, зависящую от всех q и от п констант, причем последней из этих констант является an = h. Эта функция V должна удовлетворять условию

det	d*-V	(155)
	dq,dak

Подставив полный интеграл V в формулу (153) и воспользовавшись затем обычными формулами (134) метода Гамильтона — Якоби, получим

dS*	dV	,.	r
P^-W^Sb		0 = 1, ...,л>,

d S *

d V

Ь==--ШГ=-Щ

I- 1	\| ,	, , r C 4
0 = i,	. . . , n - i ) ,	056)

ft	ds*	ds*	—	d v
Vn	дап	dh		dh'

Уравнения (156) представляют собой в неявной форме конечные уравнения движения рассматриваемой консервативной (обобщенно консервативней) системы. Таким образом, зная полный интеграл уравнения (154), можно сразу получить уравнения движения в конечном виде.

При изучении консервативных и обсбщенно консервативных систем иногда легко найти полный интеграл уравнения в частных производных (154). Такая возможность возникает в тех случаях, когда гамильтониан Н (q, p) имеет специальный вид, допускающий разделение переменных. Будем говорить, что переменные разделяются, если полный интеграл уравнения (154) можно представить в виде

V —2 ^1 (9ьа )-


334	ГЛ. VII. ДВИЖЕНИЕ		В ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ
Мы рассмотрим два		случая		такого		рода 1 ) .
С л у ч а й	1. Этот	случай	имеет место, когда Н представляет
собой функцию от п функций fu					...,	fn, каждая из которых зави-
сит только от «своих» гамильтоновых						переменных,
	Н (д, р) = Н [A (?i,			А ) , . . . , / „			(qn, Рп)Ъ	(157)
и притом df/ldp/фО для всех				/ = 1, .... п.			Уравнение	Гамиль-
тона — Якоби	в этом случае имеет				вид

	« [ * ( » . . £ )			'•(»••		& ) ] - * •
Положим
		fj(q,, р,)=а,;					(159)
тогда из	(154) и (157)	следует,	что	Я ( а	ь	..., а„) = Л. Разрешив
систему	равенств (159)	относительно		pf.
	Р/ = / Н * . « / )		(/ = 1			п),	(160)
составим	функцию

Покажем, что в рассматриваемом случае эта функция является полным интегралом уравнения Гамильтона — Якоби (158). Непосредственно видно, что функция (161) тождественно удовлетворяет уравнению (158) и зависит от п констант, а условие (155) сводится в этом случае к виду

ф	^	( 1	6 2 )
Но Off/da/'ФО, если dfj/dpj=£--Q, а это		условие предполагалось
с самого начала. Поэтому неравенство (162) всегда выполняется.
Теперь можно сразу выписать конечные выражения, описывающие
движение2).
П р и м е р . В качестве	элементарного примера рассмотрим
линейный осциллятор, т. е.	точку массы	т, движущуюся вдоль

*) Необходимые и достаточные условия возможности разделения переменных устанавливаются теоремой Штеккеля (подробнее см.: Л у р ь е А. И. Аналитическая механика.—М.: Наука, 1966, с. 546—548).

2) В данном случае удобно сначала по формуле (153) найти функцию 5*, а потом воспользоваться формулами (134). Непосредственно использовать фор-

мулы (156) нельзя, так как при их выводе	мы	считали	h	независимой п-й
константой, а в данном случае мы ввели п констант	av	. . . , а„,	nh	= H {аъ . . . , а „ )
стала функцией от них.

§ 10 ДВИЖЕНИЯ В СТАЦИОНАРНОМ ПОЛЕ

335

оси х (координата q) в упругом поле с коэффициентом упругости с.

В этом случае

т.е. имеет место простейший вариант формулы (157), когда Н совпадает с одной из функций /, а остальные fj равны нулю.

Уравнение Гамильтона —Якоби записывается так:

1 (HL

					Ьп\ dq
равенство			(160)	дает
				p = f*(q,		а) = У 2та — mcq2
и	полный		интеграл		уравнения		Гамильтона — Якоби имеет вид
					V = \ V^ma		— mcq2 dq.
В	силу соотношения (153) при h — a
				S* = — at-\r\y			2ma-mcq4q,
а	в	силу	(134)		р = У 2ma —
					р = У 2ma —
				,	1 Г	dq	, 1
					У	? 2	0)	Л
где		Л2 = 2а/с, a		(o= ]/c/m,		т. е.
					q= A sin [со(< —Р)],

имы получили известный закон движения линейного осциллятора. Случай 2. Этот случай имеет место тогда, когда гамильто-

ниан (полная или обобщенная энергия) выражается последовательно «функцией от функции», где каждая функция зависит только от предыдущей функции и от «своих» переменных:

H—fnUn-l, Цп, Рп],

где

/л-1 — 1п-1ип-2> Qn-U Pn-l\>

где в свою очередь

fn-2 — fn-2[fn-3>		Яп-г, Pn-i]	И Т.	Д.
Предполагается,	что dfj/др^фО	при всех	/ — 1,	. . . , п. Положим
/i(<7i> Л ) = « 1 .	/Л<?2. Pi, ai) = aa , ....		fn(qn,	pn, а „ _ 1 ) = а п

и разрешим эту систему равенств относительно pf:

Pi = f44u «i), p2 = /?(?2, alt а2), .... pn = fn(qn, aa-u ал ).

336	ГЛ VII ДВИЖЕНИЕ ВПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ПОЛЯХ

Введем в рассмотрение функцию

1/=21//(%,а/-.^/)% (163)

/=•1

Непосредственно видно, что эта функция V удовлетворяет уравнению (154), которое в данном случае имеет вид

f /	f if \f (	dv \	dV]	dV\		dV \ — h
fn\-.-h\h[fi[Qi,		-g^j;	q%,^ - J ;		<?з. dqa)	• • •; <7». dqJ -«.
и что	она зависит от п постоянных				а1 ( ...,	а„. Как и в первом
случае, легко проверить, что неравенство (155) выполнено. Поэтому
функция (163) является			полным	интегралом		уравнения Гамиль-

тона— Якоби и,зная ее, можно выписать закон движения вконечной форме.

П р и м е р . В качестве примера		рассмотрим движение мате-
риальной точки в поле	всемирного	тяготения. Взяв в качестве
обобщенных координат	сферические координаты
Чх = г, qt = 6,		?з = я\|5,
имеем