Файл: Мещерский И.В. Сборник задач по теоретической механике (1975).pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 29.06.2024

Просмотров: 5604

Скачиваний: 12

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Определить

проекции

угловой

скорости

трехгранника

Ox°y°z°>

если

составляющие

скорости

точки

О относительно

Земли равны .

vE и vN.

Ответ:

(в*.—О, а у = - £ - ,

u)2o =

(f/-b^)sin<p + ^

где

Н, U,

tp и

А имеют

значения,

введенные

в

задачах 20.9

и

20.10(

V"N И tgo = -

20.13.

Гироскоп

направления

установлен

в кардановом

подвесе.

Система координат x1y1z1

связана

с

внешней рамкой (ось вращения

ее вертикальна),

система xyz

скреплена

с

внутренней

рамкой (ось х

1

вращения

ее

горизонтальна). Ось z

внутренней рамки является одновре-

менно

осью

собственного

вращения

гироскопа.

К задаче 20.13.

Определить: 1) ориентацию оси z вращения гироскопа относительно

географически

ориентированных

осей

\if, (см. задачу 20.10), если

поворот внешней рамки

(оси уг)

отсчитывается по часовой стрелке

ог плоскости

меридиана

(плоскость

rfj) и

определяется углом а,

а подъем оси z над горизонтом

определяется

углом Р;

2) проекции на оси х, у, z угловой скорости вращения трехгранника xyz, предполагая, что точка О подвеса гироскопа неподвижна относительно Земли.

Ответ: 1)

С

2

Sin a COS P COS a COS P sin p

-2) w* = p'—£/ cos<p sin а,

ц>У = а cos j3-f- U (cos <p cos а sin j3—sin if cos P), юг = d sin p+ [/ (cos <p cosa cds p-f sin tpsin j3),

где U—угловая скорость вращения Земли, <р — широта места. 20.14. В условиях предыдущей задачи определить проекции уг-

ловой скорости вращения трехгранника xyz, если северная и восточ-

ная

составляющие скорости точки подвеса соответственно равны

1>N и

VE-

156

Ответ;

© * = В — (U + ' - Б — - — ) cos шsin a

^- cos a,

х

^

\ '

#СОвф / Т

#

<o y =acosP + (£/ +

7r-^—) (cos<pcosa sin В —sincpcosB)—^ sin a sin p,

J

\

i\ COS ф/

/\

ю*= a sin В-ы t/ -\-R

E—)

(cosфcosa cos В-f-sin<psin B),

где R — радиус

Земли.

20.15

(604).

Движение

тела

вокруг неподвижной точки задано

углами Эйлера:

Определить координаты точки, вычерчивающей годограф угловой скорости, угловую скорость и угловое ускорение тела относительно неподвижных осей х, у, z.

Ответ: х = <ях= 2 ]/"3 cos 2t, у = а>у ==— 2 "|/"з sin 2#, г = сог = 0; о)= 2 "^3 сек-1; 8= 4

20.16 (605). Найти подвижный и неподвижный аксоиды внешнего колеса вагона, катящегося по горизонтальному пути, средний радиус кривизны которого равен 5 м, радиус колеса вагона 0,25 м, ширина колеи 0,80 м<

К задаче 20.16.

П р и м е ч а н и е .

Колесо

вращается вместе с вагоном вокруг

вертикаль-

ной оси Ог, проходящей через центр закругления

пути,

и относительно

вагона

вокруг

оси АВ,

т. е. вращается вокруг неподвижной точки

О.

Ответ:

Неподвижный

аксоид — конус, ось

которого

совпадает

с осью Oz и с углом

при

вершине

a = 2 arctg 21,6= 174°42'.

Подвижный

аксоид — конус

с

осью

АВ

и

углом

при вершине

Р = 2 arctg 0,0463= 5° 18'.

20.17

(610).

Движение

тела

вокруг

неподвижной

точки

задано

при

помощи

углов

Эйлера

следующими

уравнениями:

<p = nt,

ij) = я/2 -{- ant, 6= я/3.

Определить

проекции

угловой

скорости и

углового

ускорения

тела

на неподвижные

оси, если а и п —постоян-

157

ные величины. Указать также то значение параметра а, при котором неподвижным аксоидом тела будет плоскость Оху.

Ответ:

и>х =

— j - cos ant, (uy==-—smant,

ч>г = n I a -f- -^

e^ = — д я

/

sin a?rf, гу = ап

cos ant, ^ = 0; a = — -s-.

20.18.

УГЛЫ

Эйлера,

определяющие положение тела,

изменяются

по

закону

(регулярная

прецессия)

ф=

ф0-j~и^,

6=

9О, <р = фо-\-щ(,

где

фо> 6Oi

?о— начальные значения

углов,

а «f

и «а — постоянные

числа, равные соответствующим угловым скоростям. Определить

угловую скорость

со тела,

неподвижный

и подвижный

аксоиды.

Ответ.

1) <о = Yn\ -f- n\-j~2щщ cos60;

2)

неподвижный

аксоид — круговой

конус

Е44" ^

—

П% Sin8

60

а

п

v

n

• И» Sin 8n

— 7—^-н—г—Г2^"

: =0

с

осью

С и углом

раствора

2arcsin-s

-;

(геа cos80 +

rtt)2

Jру

v

F

у

\усо

L

a

s i n

"E—г3)—^2подвижный= 0 с осьюаксоидг и —угломкруговойраствораконус2 arcsin "'^

^ "

COS Bo - ) -« 2 ) S

}

Y

V

m

ГЛАВА VII

СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

§21. Уравнения движений точки

21.1.Определить уравнение прямолинейного движения точки, складывающегося из двух гармонических колебаний:

Хх= 2 cos(nt -f- я/2), х2

= 3cos(я^+ я).

о

Ответ:

JtT= l/l3cos(rc£-J-a),

где a = arctg у = 33°40f.

21.2. Барабан

записывающего

устройства

вращается равномерно

со

скоростью

ю0

сек'1.

Радиус

барабана г.

Самописец соединен

с

деталью, движущейся

по вертикали

по закону

у =i a_sin coj/.

Найти уравнение кривой, которую запишет перо на бумажной ленте.

Ответ: у-

К задаче 21.2

К задаче 21.3.

21.3. При вращении поворотного крана вокруг осиОхО2 с постоянной угловой скоростью сох груз А поднимается вверх посредством каната, навернутого на барабан В. Барабан В радиуса г вращается с постоянной угловой скоростью о)2. Определить абсолютную траекторию груза, если вылет крана равен d.

159

Ответ: Винтовая линия, уравнение которой

Ш2 Г "

0) 2 Г

ось х проходит через ось ОгО2 и начальное положение груза, ось г направлена вверх по оси вращения крана.

21.4. При совмещении работы механизмов подьема груза и перемещения крана груз А перемещается в горизонтальном и вертикальном направлениях. Барабан В радиуса г = 50 см, на который навит канат, поддерживающий груз А, вращается при пуске в ход с угловой скоростью ш= 2я сек"1. Кран перемещается в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v = 0,5 м/сек. Определить

абсолютную траекторию груза, если начальные координаты груза

х0 — 10 м, уо= 6 м.

Ответ: у = •*~*°а

К задаче 21 4.

21.5. Стрела

АВ

поворотного крана

вращается

вокруг

оси Oi02

с

постоянной угловой

скоростью о. По горизонтальной стреле от А

к В

движется тележка с постоянной скоростью v0.

Определить

абсолютную траекторию тележки, если

в

начальный

момент

тележка

находилась

на

оси ОуО%.

Ответ:

Траектория — архи-

медова

спираль

9L

\

7"

J__.

К

/

\

где

г — расстояние

тележки

о

оси

вращения, <р — угол поворот

К задача 21.6.

крана вокруг оси ОхО2.

21.6 (417). Лента прибора, слу-

жащего для записи колебательных

движений,

движется

по направлению

Ох

со

скоростью

2 м/сек.

Колеблющееся

вдоль

оси Оу тело вычерчивает на ленте

синусоиду,

наибольшая

ордината

которой АВ = 2,5 см, а

длина

О^С = 8

см.

160

Смотрите также файлы