ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1972
Скачиваний: 1
110 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
|
|
должна быть мала. Используя для параметризации элементов группы координаты θa (см. раздел 2.2), причем Т(0) ≡ 1, находим, что вследствие (2.7.4) разложение в окрестности θ =`θ = 0 должно начинаться со слагаемых порядка`θ θ :
φ T(θ), T( |
|
) |
|
= f θa |
|
b + . . . , |
|
θ |
i |
θ |
(2.7.5) |
||||
d |
ab |
|
|||||
ãäå fab − действительные числовые константы. Подставляя это разло-
жение в степенное разложение соотношения (2.7.1) и повторяя шаги, которые привели к (2.2.22), получаем:
[tb , tc ] = iCabcta + iCbc1, |
(2.7.6) |
ãäå Ñbc − антисимметричный коэффициент, |
|
Cbc = − fbc + fcb . |
(2.7.7) |
Появление в правой части перестановочных соотношений слагаемых, пропорциональных единичному элементу (так называемых центральных зарядов), является для алгебры Ли прямым аналогом наличия фаз в проективном представлении группы.
Постоянные Cbc, òàê æå, êàê Cabc удовлетворяют важным ограничениям, вытекающим из тождества Якоби. Вычисляя коммутатор (2.7.6) с td и добавляя аналогичные выражения, в которых индексы b, c, d заменены на c, d, b и d, b, c, убеждаемся, что сумма всех трех двойных коммутаторов тождественно обращается в нуль, откуда
CabcCead + CacdCeab + CadbCeac = 0 , |
(2.7.8) |
а также |
|
CabcCad + CacdCab + CadbCac = 0 . |
(2.7.9) |
Уравнение (2.7.9) всегда имеет один очевидный класс ненулевых решений для Cab:
Cab = Ceabφe , |
(2.7.10) |
ãäå φe − произвольные действительные постоянные. Для этих реше-
ний можно устранить центральные заряды из (2.7.6) переопределением генераторов:
~ |
≡ ta + φa. |
(2.7.11) |
ta → ta |
2.7. Проективные представления |
111 |
|
|
|
|
Новые генераторы удовлетворяют перестановочным соотношениям без центральных зарядов:
~ ~ |
a |
~ |
(2.7.12) |
[tb , tc ] = iC |
|
bc ta . |
Данная алгебра Ли может либо допускать, либо не допускать существование решений уравнения (2.7.9), отличных от (2.7.10).
Теперь сформулируем ключевую теорему, определяющую возможность или невозможность существования внутренне проективных представлений. Фаза любого представления U(T) данной группы может быть выбрана так, что φ = 0 в (2.7.1), если выпол-
нены два условия:
а) генераторы группы в этом представлении могут быть переопределены так же, как в формуле (2.7.11)), с тем, чтобы устранить из алгебры Ли все центральные заряды;
б) группа является односвязной, т. е. любые два элемента группы могут быть связаны путем, целиком лежащим внутри группы, а любые два таких пути могут быть непрерывным образом преобразованы друг в друга. (Эквивалентно, любая петля, начинающаяся и кончающаяся на каком-то групповом элементе, может быть непрерывным образом стянута в точку.)
Доказательство теоремы дано в Приложении Б к этой главе. Там же комментируется случай неодносвязных групп. Согласно этой теореме существуют ровно две причины (причем одна не исключает другую), по которым могут возникать внутренне проективные представления: алгебраическая, когда представление группы проективно уже в окрестности единицы, или топологическая, когда группа неодносвязна, и поэтому путь из 1 в Т и затем из Т в`Т не может бытü непрерывно продеформирован в некоторый другой путь из 1 в TT. В последнем случае фаза φ в (2.7.1) зависит
от конкретного выбора стандартных путей, ведущих из единичного элемента к различным элементам группы и используемых для определения соответствующих операторов U.
Рассмотрим теперь каждую из этих возможностей по очереди применительно к частному случаю неоднородной группы Лоренца.
(À)Алгебра
Ñучетом центральных зарядов перестановочные соотношения
112 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
|
|
для генераторов неоднородной группы Лоренца будут иметь вместо (2.4.12)−(2.4.14) âèä:
i[Jμν , Jρσ ] = ηνρJμσ − ημρJ νσ − ησμ Jρν
+ ησν Jρμ + Cρσ,μν , |
|
(2.7.13) |
i[Pμ , Jρσ ] = ημρPσ − ημσPρ + Cρσ,μ |
, |
(2.7.14) |
i[Jμν , Pρ ] = ηνρPμ − ημρPν + Cρ,μν |
, |
(2.7.15) |
i[Pμ , Pρ ] = Cρ,μ . |
|
(2.7.16) |
Очевидно, что константы С удовлетворяют также условиям антисимметрии:
Cρσ,μν |
= −Cμν,ρσ |
, |
(2.7.17) |
Cρσ,μ |
= −Cμ,ρσ |
, |
(2.7.18) |
Cρ,μ = − Cμ ,ρ . |
|
(2.7.19) |
|
Покажем, что у всех этих констант есть дополнительные алгебраические свойства, позволяющие устранить их переопределением Jμν è Pμ путем сдвига на постоянные слагаемые. (Это соответствует переопределению фазы операторов U(Λ,a).) Чтобы вывести указан-
ные свойства, используем тождества Якоби
[Jμν , [Pρ , Pσ ]] + [Pσ , [Jμν , Pρ ]] + [Pρ , [Pσ , Jμν ]] = 0 , |
(2.7.20) |
[Jλη , [Jμν , Pρ ]] + [Pρ , [Jλη , Jμν ]] + [Jμν , [Pρ , Jλη ]] = 0 , |
(2.7.21) |
[[Jλη , [Jμν , Jρσ ]] + [Jρσ , [Jλη , Jμν ]] + [Jμν , [Jρσ , Jλη ]] = 0 . |
(2.7.22) |
(Тождество Якоби с тремя P удовлетворяется автоматически и поэтому не содержит дополнительной информации.) Подставляя (2.7.13)−(2.7.16) â (2.7.20)−(2.7.22), находим алгебраические соотноше-
ния, которым удовлетворяют константы С:
0 = ηνρCμ,σ − ημρCν,σ − ηνσCμ,ρ + ημσCν,ρ, |
(2.7.23) |
2.7. Проективные представления |
113 |
|
|
|
|
0 = ηνρCμ,λη − ημρCν,λη − ημηCρ,λν + ηλμ Cρ,νη |
|
+ ηλνCρ,μη − ηηνCρ,μλ + ηρλ Cη,μν − ηρηCλ,μν , |
(2.7.24) |
0= ηνρCμσ,λη − ημρCνσ,λη − ησμ Cρν,λη + ησνCρμ,λη
+ηημ Cλν,ρσ − ηλμ Cνη,ρσ − ηνλ Cμη,ρσ + ηνηCμλ,ρσ
+ ησλ Cρη,μν − ηρλ Cση,μν − ηηρCλσ,μν + ηησCλρ,μν (2.7.25)
.
Сворачивая (2.7.23) с ηνρ, получаем:
Cμ,σ = 0 . |
(2.7.26) |
С другой стороны, константы Cμ,λη è Cρσ,μν не обязательно равны
нулю, но их алгебраическая структура достаточно проста, что позволяет устранить эти константы переопределением Pμ è Jμν, соответственно. Свертка (2.7.24) с ηνρ äàåò
Cμ,λη = ημηCλ − ημλ Cη , |
(2.7.27) |
||||
Cλ ≡ |
1 |
η Cρ,λν . |
(2.7.28) |
||
|
|
||||
3 |
ρν |
||||
|
|
||||
Аналогично, сворачивая (2.7.25) с ηνρ , получаем: |
|
||||
Cμσ,λη = ηημ Cλσ − ηλμ Cησ + ησλ Cημ − ηησCλμ , |
(2.7.29) |
||||
Cλσ ≡ |
1 |
|
ηνρCλν,σρ . |
(2.7.30) |
|
|
|||||
2 |
|
|
|
||
(Эти выражения автоматически удовлетворяют соотношениям (2.7.24) и (2.7.25), так что из тождеств Якоби уже нельзя извлечь дополнительной информации.) Теперь видно, что если константы С не равны нулю, их можно устранить, определяя новые генераторы
~ |
μ |
≡ P |
μ |
+ C |
μ |
(2.7.31) |
|
P |
|
|
, |
||||
~μσ |
≡ J |
μσ |
+ C |
μσ |
(2.7.32) |
||
J |
|
|
|
, |
|||
114 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
|
|
и тогда перестановочные соотношения примут вид, который они должны иметь для обычного представления:
~μν |
~ρσ |
] = η |
νρ ~μσ |
− η |
μρ |
~νσ |
− η |
σμ ~ρν |
+ η |
σν ~ρμ |
, |
(2.7.33) |
||||||||
i[J |
, J |
|
J |
|
|
|
|
J |
J |
|
|
J |
||||||||
|
|
~μν |
~ |
ρ |
] |
= η |
νρ ~ μ |
− η |
μρ ~ |
ν |
, |
|
|
|
(2.7.34) |
|||||
|
|
i[J |
|
, P |
|
|
|
P |
P |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
~ |
μ |
~ |
ρ |
] = 0 . |
|
|
|
|
|
|
(2.7.35) |
|||
|
|
|
|
i[P |
|
, P |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Мы всегда будем записывать перестановочные соотношения в виде (2.7.33)−(2.7.35), но с опущенными тильдами.
Между прочим, заметим, что отсутствие центральных зарядов в случае алгебры, порождаемой Jμν, можно немедленно
вывести из того факта, что эта алгебра относится к типу полупростых. (Полупростые алгебры Ли не имеют инвариантных абелевых подалгебр, порождаемых коммутирующими друг с другом генераторами, коммутаторы которых с любыми другими генераторами алгебры также принадлежат этой подалгебре.) Имеется общая теорема11, согласно которой любые центральные заряды в случае полупростых алгебр Ли всегда можно устранить переопределением генераторов, как в (2.7.32). С другой стороны, полная алгебра Пуанкаре, порождаемая коммутаторами Jμν è Pμ, не является полупростой (генераторы Pμ образуют
инвариантную абелеву подалгебру), и требуются специальные аргументы. чтобы показать, что ее центральные заряды можно устранить тем же способом. В самом деле, неполупростая алгебра Галилея, обсуждавшаяся в разделе 2.4, допускает существование центрального заряда — массы М.
Итак, неоднородная группа Лоренца удовлетворяет первому из двух условий, необходимых для исключения внутренне проективных представлений. Что можно сказать о втором условии?
(Б) Топология
Чтобы исследовать топологию неоднородной группы Лоренца, весьма удобно представить однородные лоренцовские преобразования 2×2 комплексными матрицами. Действительно, любой действительный 4-вектор Vμ можно использовать для построения эрмитовой 2×2 матрицы