Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

определение любого из операторов инверсии должно обеспечи- вать точное или приближенное сохранение этого оператора. Однако такое определение может противоречить условию, что T2

пропорционален единичному оператору.

Чтобы рассмотреть более общие возможности для оператора обращения времени, предположим, что он действует на массивное одночастичное состояние по правилу

ãäå p, j è σ — импульс, спин и z-компонента спина, а n, m —

индексы, которыми нумеруются члены вырожденного мультиплета частиц. (Появление множителя (−1)j–σ и изменение знака p и σ выводятся так же, как в разделе 2.6.) Мы ничегоTне знаем о

матрице Tmn кроме того, что в силу антиунитарности матрица T должна быть унитарной.

Посмотрим теперь, как можно упростить это преобразование подходящим выбором базиса одночастичных состояний. Опреде-

В общем случае с помощью такого выбора базиса одночастичных состояний не удается сделать T′ диагональной,T êàê ýòî áûëî áû

возможно в случае унитарного оператора . Однако можно сделать эту матрицу блочно-диагональной, причем блоки имеют вид либо 1×1 фазовых множителей, либо 2×2 матриц вида

ãäå φ — различные действительные фазы.

(Приведем доказательство. Во-первых, заметим, что из формулы (2.В.2) следует

T ′ T ′* = U −1T T *U .

Это унитарное преобразование, и его можно выбрать так, чтобы диагонализовать унитарную матрицу TT*. Считая, что это сделано, и опуская индексы, имеем

диагонали фазы eiφn . Немедленным следствием этого является то,

что диагональная компонента Tnn обращается в нуль, за исключе- нием случая eiφn = 1. Далее, пусть eiφn = 1, íî eiφm ¹ 1. Тогда из

(2.В.4) следует, что Tmn = Tnm = 0. Перебирая сначала все строки и столбцы, для которых = 1, приводим матрицу T к виду

где А — симметричная и унитарная матрица, а у В все диагональные элементы равны нулю. Так как À симметрична, она может быть представлена как экспонента от симметричной антиэрмитовой матрицы, поэтому ее можно диагонализовать преобразованием (2.В.2), действующим только на А, причем соответствующая подматрица матрицы U действительна и потому ортогональна.

Поэтому достаточно рассмотреть подматрицу В, связывающую строки и столбцы, для которых eiφn ¹ 0. Для значений

столбцы с противоположной фазой, затем все строки и столбцы с какой-то другой фазой eiφ2 ¹ 1, не равной e±iφ1 , строки и

столбцы с противоположной фазой и т. д., то матрица В примет блочно–диагональный вид:

ãäå

136 Глава 2. Релятивистская квантовая механика

Далее, унитарность матрицы T, а следовательно и В, требует, чтобы Ci Ci† = Ci†Ci = 1, откуда Ci – квадратная и унитарная матри-

ца. Если применить преобразование (2.В.2) с матрицей U, которая блочно–диагональна в том же смысле, что и T, причем матрица в n-ом блоке имеет вид

с унитарными матрицами Vi è Wi, то подматрицы Ci подвергнутся преобразованию Ci → Vi−1CiWi* . Отсюда ясно, что можно выбрать

это преобразование так, чтобы Ci = 1. Этим устанавливается соответствие между парами отдельных строк и столбцов внутри каждого блока с фазами eiφi è e− iφi . Чтобы привести матрицу В к блочнодиагональному виду с 2´2 блоками вида (2.В.3), необходимо всего лишь перегруппировать строки и столбцы с фазами eiφi попеременно с соответствующими строками и столбцами с фазами e− iφi .)

Важно подчеркнуть, что если eiφ ¹ 1, невозможно выбрать

Результатом действия преобразования обращения времени на произвольную линейную комбинацию этих состояний будет

eiφ/2c*+ = λc− , e− iφ/2c*− = λc+ .

Комбинируя эти уравнения, имеем e± i φ2c*± = l 2 c*±em i φ2 , ÷òî

невозможно, если не выполнено хотя бы одно из двух условий:

эту матрицу с помощью выбора базиса для состояний. Однако такой выбор базиса может оказаться не тем, в котором оператор обращения времени действует просто, так что в принципе операторы P è T совместно могут привести к дополнительным вырождениям, которые не требуются операциями P èëè T ïî-

отдельности.

Как обсуждается в гл. 5, всякая квантоваяCPT теория поля считается удовлетворяющей симметрии , действующей на одночастичные состояния по правилу

ãäå nc обозначает античастицу (или зарядово–сопряженную частицу) к частице n. В этом преобразовании не допускаются никакие фазы или матрицы (хотя,CPT конечно, всегда можно ввести фазы или матрицы, объединив с подходящими внутренними симметриями). Отсюда вытекает, что

так что предложенная ВигнеромCPTвозможность появления знака –(–1)2j при действии оператора ( )2 в квантовой теории поля не реализуетсяT .

Пока является хорошей симметрией для некоторого класса

С другой стороны, если T имеет нестандартное представление (2.В.8), из (2.В.11) имеем: