ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.06.2024
Просмотров: 1975
Скачиваний: 1
Приложение А |
125 |
|
|
Осталось доказать, что для данного преобразования симметрии мы должны сделать тот же выбор между формулами (2.А.14) и (2.А.15) в случае произвольных значений коэффициентов Сk. Предположим, что (2.А.14) выполнено для вектора состояния åkAkYk, а (2.А.15) — для вектора состояния åkBkYk. Тогда из
инвариантности вероятностей переходов вытекает, что
2 |
2 |
å Bk* Ak |
= å BkAk . |
kk
или эквивалентно
åImcAk* Al h ImcBk* Bl h = 0 . |
(2.À.16) |
kl |
|
Нельзя исключить, что (2.А.16) выполнено для пары векторов состояний åkAkYk è åkBkYk, принадлежащих разным лучам. Од-
нако для любой пары таких векторов состояний, у которых ни Ak, íè Bk не имеют все одинаковой фазы (так что (2.А.14) и (2.А.15) не одинаковы), всегда можно найти третий вектор состояния, для которого *
åImcCk* Cl h ImcAk* Al h ¹ 0 , |
(2.À.17) |
kl |
|
и также |
|
åImcCk* Cl h ImcBk* Bl h ¹ 0 . |
(2.À.18) |
kl
*Åñëè äëÿ какой-то пары k, l и A*kAl, è B*kBl комплексны, выбираем все
Ñравными нулю, за исключением Ck è Cl, а эти коэффициенты выбираем с разными фазами. Если для какой-то пары k, l величина A*kAl комплексна, а B*kBl действительна, то должна существовать другая пара m, n (либо m, либо n, но не оба сразу, могут при этом равняться k или l), для которой
B*mBn комплексна. Если к тому же A*mAn комплексна, выбираем все С равными нулю, за исключением Cm è Cn, а у этих коэффициентов выбираем разные фазы. Если A*mAn действительна, то выбираем все С равными нулю, за исключением Ck, Cl, Cm è Cn, а у этих четырех коэффициентов выбираем разные фазы. Случай, когда B*kBl комплексна, а A*kAl действительна, разбирается аналогично.
126 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
Как мы видели, из (2.А.17) следует, что для åkAkYk è åkCkYk
должен быть сделан выбор между (2.А.14) и (2.А.15), а из (2.А.18) следует, что один и тот же выбор должен быть сделан и для åkBkYk è åkCkYk. Таким образом, один и тот же выбор между
(2.А.14) и (2.А.15) должен быть сделан для двух исходных векторов состояния åkAkYk è åkBkYk. Итак, показано, что для данного
преобразования симметрии T все векторы состояний удовлетворяют либо (2.А.14), либо (2.А.15).
Теперь нетрудно доказать, что квантово-механический оператор U может быть либо линейным и унитарным, либо антилинейным и антиунитарным. Сначала предположим, что для всех векторов состояний удовлетворяется (2.А.14). Любые два вектора состояния Y è F можно разложить по полной системе:
Y = å AkYk , F =å BkYk ,
kk
соответственно, используя (2.А.14), получаем:
UaaY + bFf = UåbaAk + bBk gYk =åbaAk + bBk gUYk
k k
= aå AkUYk + bå BkUYk .
kk
Вновь используя (2.А.14), находим:
UaαΨ + βΦf = αUΨ + βUΦ , |
(2.À.19) |
так что оператор U линеен. Пользуясь (2.А.2) и (2.А.3), находим, что скалярное произведение преобразованных состояний равно
(UY, UF) = å Ak* Bl (UYk , UYl ) = å Ak* Bk ,
kl |
k |
и, следовательно, |
|
(UΨ, UΦ) = (Ψ, Φ), |
(2.À.20) |
так что оператор U унитарен. |
|
Приложение Б |
127 |
Случай симметрии, которая удовлетворяет (2.А.15) для всех векторов состояний, разбирается во многом аналогично. Возможно, читатель сам, без посторонней помощи воспроизведет доказательство. Однако, поскольку антилинейные операторы могут быть не слишком привычны, все же приведем здесь необходимые детали. Пусть (2.А.15) удовлетворяется для всех векторов состояний åkCkYk. Любые два вектора Y è F могут быть разложены как и ранее, так что
UaaY + bFf = UåbaAk + bBk gYk =åca* Ak* + b* Bk* hUYk
k k
= a* å Ak* UYk + b* å Bk* UYk .
kk
Вновь пользуясь (2.А.15), находим:
|
aaY + bFf = a |
Y + b |
F |
|
(2.À.21) |
U |
|
*U |
*U |
, |
так что U антилинеен. Используя (2.А.2) и (2.А.3), получаем, что скалярное произведение преобразованных состояний
(UY, UF) = å AkBl* (UYk , UYl ) = å AkBk* ,
kl |
k |
и поэтому |
|
(UΨ, UΦ) = (Ψ, Φ)* , |
(2.À.22) |
так что оператор U антиунитарен. |
|
Приложение Б. Групповые операторы
èгомотопические классы
Âэтом приложении мы докажем упомянутую в разделе 2.7 теорему, согласно которой фазы операторов U(T) для конечных преобразований симметрии T можно выбрать так, чтобы эти операторы образовывали представление группы симметрии, а не проективное представление, если только: а) генераторы группы можно определить так, чтобы в алгебре Ли не было цент-
128 |
Глава 2. Релятивистская квантовая механика |
ральных зарядов; б) сама группа односвязна. Кроме того, обсудим проективные представления для неодносвязных групп и связь этих представлений с гомотопическими классами группы.
Для доказательства теоремы вспомним метод, с помощью которого были построены операторы, соответствующие преобразованиям симметрии. Как описано в разделе 2.2, для параметризации этих преобразований мы вводим набор действительных переменных θa, так чтобы сами преобразования удовлетворяли
закону композиции (2.2.15):
T(θ)T(θ) = Td f(θ, θ)i .
Мы хотим построить операторы U(T(θ)) ≡ U[θ], удовлетво-
ряющие соответствующему условию *:
U[ |
|
]U[θ] = U[ f( |
|
, θ)] . |
(2.Á.1) |
θ |
θ |
Чтобы сделать это, проведем произвольные «стандартные» пути Θθa (s)
в пространстве групповых параметров, идущие из начала в каждую точку θ, причем Θθa (0) = 0 , Θθa (1) = θa , и определим Uθ(s) вдоль каж-
дого такого пути с помощью дифференциального уравнения
|
d |
a |
|
dΘθb (s) |
|
|
|
|
Uθ (s) = itaUθ (s)hb |
(Θθ (s)) |
|
(2.Á.2) |
|
|
|
ds |
||||
|
ds |
|
|
|
||
с начальным условием |
|
|
|
|
||
|
|
|
Uθ (0) = 1, |
|
(2.Á.3) |
|
ãäå
|
L |
∂ |
|
|
|
|
θ |
O |
|
||
|
a |
( |
θ |
|
|||||||
[h−1 |
]ba (θ) ≡ M |
f |
|
|
|
, ) |
P |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
∂θb |
||||||||||
|
N |
|
Qθ =0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Мы намерены в конце концов отождествить Uθ(1), но прежде следует выяснить некоторые
(2.Á.4)
операторы U[θ] с свойства Uθ(s).
* Здесь и далее квадратные скобки используются для того, чтобы отличать операторы U, построенные как функции групповых параметров, от операторов, являющихся функциями самих групповых преобразований.