Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Чтобы проверить закон композиции, рассмотрим две точки θ1 è θ2, и определим путь P, идущий из 0 в θ1, а затем в f(θ2, θ1):

В конце первого отрезка пути мы попадаем в точку, где опера-

вдоль второго отрезка совпадает с дифференциальным уравнением

Однако из этого не следует, что Uθ(1) удовлетворяет желаемому правилу композиции (2.Б.1), так как, хотя путь ΘP(s) èäåò èç θa = 0 â θa = fa(θ2, θ1), он в общем случае не будет совпадать с тем выбранным нами «стандартным» путем Θf(θ2 ,θ1) , который идет сразу из θa = 0 â θa = fa(θ2, θ1). Чтобы отождествить U[θ] c Uθ(1), нужно еще доказать, что Uθ(1) не зависит от пути из 0 в θ.

Для этого рассмотрим вариацию δU оператора Uθ(s), порожденную вариацией δΘ(s) ïóòè èç 0 â θ. Беря вариацию

(2.Б.2), приходим к дифференциальному уравнению

ãäå hba,c ≡ ∂hba / ∂Θc . Используя коммутационные соотношения ал-

гебры Ли (2.2.22) (без центральных зарядов) и совершая перегруппировку слагаемых, получаем

Однако переходя к пределу θ3, θ2 → 0 в условии ассоциативности (2.Б.6), находим для всех θ

ãäå fade – коэффициент, определенный формулой (2.2.19). Антисимметризация по b и c показывает, что последнее слагаемое в (2.Б.9) обращается в нуль:

постоянна вдоль пути θ(s). Отсюда следует, что оператор Uθ(1)

стационарен при любой бесконечно малой вариации пути, оставляющей закрепленными конечные точки Θ(0) = 0 è Θ(1) = θ (а также Uθ(0) = 1). Однако из предположения б) вытекает, что любой путь от Θ(0) = 0 äî Θ(1) = θ можно непрерывно деформировать в любой другой путь, так что теперь можно рассматривать Uθ(1) как не зависящую от пути функцию только переменной θ:

а тогда (2.Б.8) показывает, что U[θ] удовлетворяет закону груп-

пового умножения (2.Б.1), что и требовалось доказать.

Мы построили непроективное представление U[θ], и осталось

показать, что любое проективное представление ~[θ] òîé æå ãðóï-

U

пы с теми же генераторами представления ta может отличаться от U[θ] только фазой:

может быть устранена простым изменением фазы ~[θ]. Чтобы пока-

U

зать это, рассмотрим оператор

Операторы U[θ] è ~[θ] имеют одни и те же генераторы, поэтому

U

производная левой части по θ ′a обращается в нуль при θ ′ = 0 è

Дифференцируя полученное равенство по θc и выполняя антисим-

метризацию по b и c, получаем сразу же

0 = ∂φb (θ) − ∂φc (θ) . ∂θc ∂θb

Согласно известной теореме13 из предыдущего равенства следует, что в односвязном пространстве φb есть просто градиент

132 Глава 2. Релятивистская квантовая механика

некоторой функции β:

постоянной по θ. Полагая эту величину равной ее значению при θ =

~[θ] = [θ] expa− β(θ) + β(0)f ,

U U i i

что и утверждалось выше.

* * *

Приведенный выше анализ дает некоторую информацию о природе фазовых множителей, которые могут появляться в групповом законе умножения в случае, когда алгебра Ли не допускает центральных зарядов, но группа не являеòся односвязной. Предположим, что путь P из нуля в θ, а затем в f(θ, θ) нельзя пðодеформировать в выбранный нами стандартный путь из 0 в f(θ, θ) , èными словами, предположим, что петля из нуля через θ â è

обратно в нуль не может быть непрерывно продеформирована в точку. Тогда выражение U −1(f(θ2 , θ1))U(θ2 )U(θ1) может являться фазовым множителем exp(if(q2 , q1)) ¹ 1, но f — одной и той же для

всех других петель, в которые можно непрерывно продеформировать данную петлю. Множество, состоящее из всех петель, начинающихся и кончающихся в нулевой точке, которые могут быть непрерывно продеформированы в данную петлю, носит название гомотопического класса14 данной петли. Таким образом, мы видим, что f(θ2, θ1) зависит только от гомотопического класса петли, идущей из нуля через θ â f(θ, θ) и затем обратно в нуль.

Множество гомотопических классов образует группу: «произведение» гомотопических классов для петель L1 è L2 есть гомотопический класс петли, получающейся обходом по L1, а затем по L2; «обратный» гомотопический класс петли L есть гомотопический класс петли, получающейся обходом L в противоположном направлении; «единицей» является гомотопический класс петель,

которые можно продеформировать в начальную точку. Эта группа называется первой гомотопической или фундаментальной группой обсуждаемого пространства. Легко показать, что фазовые множители образуют представление этой группы: если обход по петле L дает фазовый множитель eiφ , а обход по петле `L — фазовый множиòåëü eiφ , то обход по обеим петлям дает фазовый множитель eiφeiφ . Поэтому можно составить каталог всех возмож-

ных типов проективных представлений данной группы G (без центральных зарядов), если известны одномерные представления первой гомотопической группы пространства параметров группы G. Более подробно гомотопические группы обсуждаются в т. II.

Приложение В. Инверсии и вырожденные мультиплеты

Обычно предполагается, что инверсии T и P переводят одно- частичные состояния в другие одночастичные состояния того же сорта, возможно, с зависящими от сорта частиц дополнительными фазовыми множителями. В разделе 2.6 мы мельком обратили внимание на то, что на вырожденные мультиплеты одночастичных состояний операторы инверсии могут действовать и более сложным образом. Эта возможность, по-видимому, была впервые отмечена в 1964 году Вигнером 15. В данном Приложении рассматриваются обобщения операторов инверсии, в которых вместо фаз инверсии появляются конечные матрицы. При этом не делается ряда ограни- чительных предположений, использованных Вигнером.

Начнем с обращения времени. Вигнер ограничил возможное действие операторов инверсии, предположив, что их квадраты пропорциональны единичному оператору. Так как T – антиунитар-

ный оператор, легко видеть, что множитель пропорциональности для T2 может быть равен ±1, возможно, с разными знаками для

подпространств, выделенных правилами суперотбора. В том слу- чае, когда знак T2 на пространстве состояний с четными или

нечетными значениями 2j противоположен знаку (-1)2j, найденному в разделе 2.6, физические состояния должны реализовывать более сложные, чем предполагалось до сих пор, представления оператора T. Если мы хотим принять такую гипотезу, уже не

видно достаточных оснований для сохранения условия Вигнера, что T2 пропорционален единице. Обращение к структуре расши-

ренной группы Пуанкаре неубедительно. Единственное полезное