Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Для доказательства ортонормированности ин- и аутсостояний, разделим (3.2.9) на Eα − Eβ ± 2iε. Получим:

Слагаемые 2ε в знаменателях левой части можно заменить на ε, так как главное в этих слагаемых − то, что они положительные

бесконечно малые величины. Теперь видно, что величина

унитарна. С учетом (3.1.17) это соответствует утверждению, что Ψα±

образуют два ортонормированных набора векторов состояний. Унитарность S-матрицы можно доказать аналогично, умножив (3.2.9) не на (Eα − Eβ ± 2iε)-1, à íà δ(Eβ − Eα).

3.3.Симметрии S-матрицы

Âэтом разделе мы рассмотрим, во-первых, что означает инвариантность S-матрицы по отношению к различным симметриям, и, во-вторых, каковы условия, которые накладываются на гамильтониан, чтобы обеспечить эти свойства инвариантности.

Лоренц−инвариантность

Для любого собственного ортохронного преобразования Лоренца x → Λx + a можно определить унитарный оператор U(Λ,a), задав

правило его действия на инили аут-состояния в соответствии с формулой (3.1.1). Когда говорится, что теория лоренц−инвариантна, подразумевается, что один и тот же оператор U(Λ,a) действует по

формуле (3.1.1) как на ин-, так и на аут-состояния. Поскольку оператор U(Λ,a) унитарен, можно записать:

Sβα = dΨβ− , Ψα+ i = dU(Λ, a)Ψβ− , U(Λ, a)Ψα+ i,

откуда, используя (3.1.1), получаем свойство лоренц−инвариантности

(на самом деле, ковариантности) S-матрицы: для произвольных преобразований Лоренца Λμν и преобразования трансляций aμ S-

матрица преобразуется по правилу:

(Штрихи отличают конечные частицы от начальных; черта над индексом указывает переменные, по которым идет суммирование.)

В частности, поскольку левая часть этого выражения не зависит от aμ, это же должно быть верно и для правой части, поэтому S−матрица обращается в нуль, если не выполнен закон сохранения 4-импульса. Следовательно, та часть S−матрицы, которая описывает

реальные взаимодействия между частицами, может быть представлена в виде

(Однако, как будет видно в следующей главе, амплитуда Mβα сама содержит слагаемые, включающие новые множители с дельта−

функциями.)

Формулу (3.3.1) следует рассматривать не как теорему, а как определение того, что мы понимаем под инвариантностью S-матри- цы, т. к. только для ряда специально выбранных гамильтонианов

где i, j, k и т. д. принимают значения 1, 2, 3, а εijk − полностью антисимметричный тензор, ε123 = +1.

Аналогично можно определить набор «точных генерато ров» — операторов P, J, K, которые вместе с полным гамильтонианом Н порождают преобразования (3.1.1) при действии, скажем, на инсостояния. (Как уже отмечалось, не очевидно, что те же операторы, действуя на аут-состояния, порождают те же преобразования.) Исходя из структуры группы, получаем, что эти точные генераторы удовлетворяют тем же самым перестановочным соотношениям:

Практически во всех известных теориях поля эффекты взаимодействий сводятся к добавлению слагаемого V в гамильтониан, без изменения импульса и углового момента:

(Единственным известным исключением являются теории с топологически твистованными полями, например, теории с магнитными монополями, в которых угловой момент состояний зависит от взаимодействия.) Из соотношения (3.1.18) вытекает, что удовлетворяются перестановочные соотношения (3.3.11), (3.314) и (3.3.16), если счи- тать, что оператор взаимодействия коммутирует с операторами импульса и углового момента свободных частиц:

Теперь из уравнения Липпмана−Швингера (3.1.16) или, экви-

валентно, из (3.1.13) легко получить, что операторами, генерирующими трансляции и вращения при действии на ин- (и аут-) состояния действительно являются операторы P0 è J0. Кроме того, видно, что P0 è J0 коммутируют с оператором U(t, t0), определенным формулой (3.2.6), а следовательно и с S-оператором U(∞, −∞). Далее, мы

уже знаем, что S-оператор коммутирует с Н0, так как в обоих слагаемых в (3.2.7) содержатся дельта-функции, выражающие закон сохранения энергии. Таким образом, остается показать, что генератор буста K0 коммутирует с оператором S.

С другой стороны, нельзя приравнять генератор буста K его аналогу для свободных частиц K0, так как в этом случае из (3.3.15) и (3.3.8) будет следовать, что Н = Н0, что очевидно неверно при наличии взаимодействий. Таким образом, добавляя взаимодействие V к Н0, мы должны добавить также и поправку W к генератору буста K0:

Из оставшихся перестановочных соотношений остановимся на (3.3.17), которое теперь принимает вид