Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

Само по себе соотношение (3.3.21) бессодержательно, так как для любого V можно всегда определить W, задав его матричные элементы между собственными состояниями Ψα è Ψβ гамильтониана

H â âèäå −(Ψβ , [K0 , V]Ψα ) / (Eβ − Eα ). . Напомним, что ключевым моментом для лоренц−инвариантности теории является не то, что обя-

зательно должен существовать набор точных генераторов, удовлетворяющих соотношениям (3.3.11)−(3.3.17), а то, что эти операторы

должны одинаково действовать на ин- и аутсостояния. Просто найти оператор K, удовлетворяющий (3.3.21), недостаточно. Это соотношение становится существенным, если добавить требование, что матричные элементы W должны быть гладкими функциями энергий, в частности, не должны иметь особенностей вида (Eβ −Eα)–1.

Докажем теперь, что из (3.3.21) и подходящего условия гладкости W действительно вытекает оставшееся условие лоренц−èíâà-

риантности [K0,S] = 0.

Чтобы показать это, рассмотрим коммутатор K0 с оператором U(t, t0) при конечных t и t0. Используя формулу (3.3.10) и тот факт, что P0 коммутирует с Н, получим:

[K0 , exp(iH0t)] = −tP0 exp(iH0t),

В то же время из перестановочного соотношения (3.3.21) (или, эквивалентно, из (3.3.17)) вытекает:

[K, exp(iHt)] = −tPexp(iHt) = −tP0 exp(iHt).

В коммутаторе K0 c U операторы импульса сокращаются, так

÷òî

Если матричные элементы W между собственными состояниями Н0 являются достаточно гладкими функциями энергии, матричные элементы W(t) между гладкими суперпозициями собственных состояний энергии обращаются при t → ±∞ â íóëü, òàê ÷òî èç (3.3.22) â

результате получается

что и следовало доказать. Этот результат очень важен: соотношение (3.3.21) совместно с условием гладкости матричных элементов W, обеспечивающих обращение в нуль W(t) при t → ±∞, является

достаточным условием лоренц-инвариантности S-матрицы. Условие гладкости довольно естественно, так как оно весьма напоминает условие на матричные элементы V, необходимое для того, чтобы V(t) обращалось в нуль при t → ±∞, как и требуется для подкрепления самой идеи S−матрицы.

Формулу (3.3.22) при t = 0 и t0 = å∞ можно использовать для

доказательства того, что

ãäå Ω(±∞) является согласно (3.1.13) тем оператором, который переводит состояние свободной частицы Φα в соответствующее инили аут-состояние Ψα±. Кроме того, из (3.3.18) и (3.3.19) тривиально

следует, что это же верно для импульса и углового момента:

Наконец, так как все Φα è Ψα± являются собственными состояниями

Í0 и Н, соответственно, с одним и тем же собственным значением Eα, òî

Из формул (3.3.25)−(3.3.28) следует, что в рамках наших пред-

положений ин- и аут-состояния действительно преобразуются под действием преобразований Лоренца так же, как и состояния свободных частиц.

Кроме того, поскольку это преобразования подобия, мы видим, что точные генераторы K, P, J и Н удовлетворяют тем же перестановочным соотношениям, что и K0, P0, J0 è Í0. Именно поэтому при доказательстве лоренц−инвариантности S−матрицы не

требуется использовать другие включающие оператор K перестановочные соотношения (3.3.12), (3.3.13) и (3.3.15).

Внутренние симметрии

Существуют различные симметрии, например, симметрия относительно взаимной перестановки нейтронов и протонов в ядерной физике или симметрия относительно операции «зарядового сопряжения» для частиц и античастиц, не имеющие никакого прямого отношения к лоренц−инвариантности и, более того, выглядя-

щие одинаково во всех инерциальных системах отсчета. Подобное преобразование симметрии Т действует в гильбертовом пространстве физических состояний как некоторый унитарный оператор U(T), который индуцирует линейные преобразования по индексам, отме- чающим сорта частиц:

U(T)Ψp1σ1n1;p2σ2n2 ;... = åDn1n1 (T)Dn2n2 (T) × Ψp1σ1n1 ;p2σ2n2 ;... . (3.3.29)

n1n2 ...

В соответствии с общей дискуссией в гл. 2, оператор U(T) должен удовлетворять групповому правилу умножения

ãäå`TT — преобразование, полученное сначала действием преобразованиÿ Т, а затем другого преобразования`Т. Действуя опера-

тором на (3.3.29), видим, что матрицы D удовлетворяют тому же правилу:

Кроме того, беря скалярное произведение состояний, полу- ченных действием оператора U(T) на два разных инили аутсостояния, и используя условие нормировки (3.1.2), находим, что матрица D(T) должна быть унитарной:

Наконец, вычисляя скалярное произведение состояний, полученных действием оператора U(T) на одно аут- и одно инсостояние, получаем, что D(T) коммутирует с S-матрицей в том смысле, что

«теория инвариантна по отношению к преобразованиям внутренней симметрии Т», так как для вывода (3.3.33) все еще следует показать, что один и тот же унитарный оператор U(T) индуцирует преобразование (3.3.29) как ин-, так и аут-состояний. Это будет выполнено, если существует «невозмущенный» оператор преобразования U0(T), индуцирующий такие преобразования состояний свободных частиц,

U0 (T)Φp1σ1n1;p2σ2n2 ;... = å DN1n1 (T)DN2n2 (T). . . Φp1σ1N1 ;p2σ2N2 ;... , (3.3.34)

N1N2 ...

èкоммутирующий как с гамильтонианом свободных частиц, так

èс гамильтонианом взаимодействия:

С помощью уравнения Липпмана−Швингера (3.1.17) или

формулы (3.1.13) находим, что оператор U0(T) индуцирует преобразования (3.3.29) ин- и аут-состояний, а также состояний свободных частиц, так что можно вывести формулу (3.3.29), взяв U0(T) вместо оператора U(T).

Очень важным с физической точки зрения частным случаем является преобразование симметрии, описываемое однопараметри- ческой группой Ли, когда Т — функция одного параметра θ, причем

Как показано в разделе 2.2, в этом случае соответствующие операторы в гильбертовом пространстве должны иметь вид:

ãäå Q − эрмитов оператор. Аналогично, матрицы D(T) имеют вид