Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

ãäå qn − набор действительных, зависящих от сорта частиц чисел.

В этом случае из формулы (3.3.33) следует, что q сохраняются: матричные элементы Sβα обращаются в нуль, кроме случая, когда

Классическим примером такого закона сохранения является сохранение электрического заряда. Кроме того, во всех известных процессах сохраняются барионное число (число барионов, т. е. протонов, нейтронов и гиперонов, минус число их античастиц) и лептонное число (число лептонов, т. е. электронов, мюонов, τ-лепто-

нов и соответствующих нейтрино, минус число их античастиц). Правда, как мы увидим в т. II, считается, что эти законы сохранения выполняются лишь с очень хорошей степенью приближения к реальности. Существуют и другие аналогичные законы сохранения, определенно являющиеся приближенными. Примером может служить сохранение величины, названной странностью, которая была введена для объяснения относительно большого времени жизни ряда частиц, открытых в космических лучах Рочестером и Батлером 5 в 1947 году. Так, мезонам, называемым сейчас K+ è K0, приписывается значение странности +1, а гиперонам Λ0, Σ+, Σ0, Σ− − значение −1, а у более привычных протонов, нейтронов и π-мезонов (пионов) странность считается равной нулю *. Со-

хранение странности в сильных взаимодействиях объясняет, по- чему странные частицы рождаются всегда вместе, например, в реакции π+ + n → K+ + Λ0, в то время, как относительно медленные распады странных частиц в нестранные, например, Λ0 → p + π+ è K+ → π++π0 свидетельствуют, что взаимодействия, не сохраня-

ющие странность, очень слабы.

Классическим примером «неабелевой» симметрии, генераторы которой не коммутируют друг с другом, является симметрия относительно преобразований изотопического спина, предложенная в

* Верхние индексы указывают на электрический заряд частиц в единицах абсолютного значения заряда электрона. «Гипероном» называют любую частицу, обладающую ненулевым значением странности и барионным числом, равным единице.

1937 ãîäó 6 на основании эксперимента 7, показавшего существование сильных протон−протонных взаимодействий, аналогичных взаимо-

действиям протонов с нейтронами. Математически группой симметрии является группа SU(2), совпадающая с накрывающей группой для группы трехмерных вращений. Генераторы группы SU(2) обозна- чаются ti, i = 1, 2, 3, и удовлетворяют перестановочным соотношениям, аналогичным (2.4.18):

[ti , tj ] = iε ijk tk .

Âситуациях, когда имеет место симметрия по отношению

êпреобразованиям изотопического спина, частицы образуют вырожденные мультиплеты, характеризующиеся целым или полуцелым числом Т, причем каждая из (2Т + 1) компонент такого мультиплета

отличается значением t3, как в случае вырожденных спиновых мультиплетов, существование которых требуется инвариантностью

относительно вращений. Такими мультиплетами являются: нуклоны p и n с Т = 1/2 и t3 = 1/2, −1/2; пионы π+, π0, π− ñ Ò = 1 è t3 = 1, 0, −1; Λ0-гиперон с Т = 0 и t3 = 0. Эти примеры иллюстрируют соотношение

между электрическим зарядом Q, третьей компонентой изотопического спина t3, барионным числом B и странностью S:

Это соотношение было первоначально выведено на основании наблюдавшихся правил отбора, однако Гелл-Манн и Нееман в 1960 году показали, что оно есть следствие того, что изоспин Т и «гиперзаряд» Y ≡ B + S «погружаются» в алгебру Ли более широкой, но и

более сильно нарушенной неабелевой внутренней симметрии, основанной на неабелевой группе SU(3). Как мы увидим в т. II, в наши дни в рамках современной теории сильных взаимодействий − êâàí-

товой хромодинамики — изоспиновая и SU(3) симметрия воспринимаются как случайные следствия, вытекающие из малых значений масс двух или трех легчайших кварков.

Следствия изотопической симметрии для реакций между сильно взаимодействующими частицами могут быть получены теми же знакомыми методами, которые были развиты для вывода следствий инвариантности относительно вращений. В частности, для двухча- стичной реакции A + B → C + D из формулы (3.3.33) вытекает, что

S-матрица может быть представлена в виде (опущены все индексы, кроме изотопических):

StC3tD3 ,tA3tB3 = åCTCTD (Tt3 ; tC3tD3 )CTATB (Tt3 ; tA3tB3 )ST , T,t3

ãäå Cj j (jσ; σ1σ2 ) — обычный коэффициент Клебша−Гордана для образования1 2 состояния со спином j и третьей проекцией σ из состояний со спинами j1 è j2 и третьими проекциями σ1 è σ2; ST — «приве-

денная» S-матрица, зависящая от Т и от всех опущенных импульсных и угловых переменных, но не от третьих проекций изоспина tA3, tB3, tC3, tD3. Конечно, это и все другие следствия изотопической инвариантности являются только приближенными, т. к. изотопическая симметрия не сохраняется в электромагнитных (и других) взаимодействиях, о чем свидетельствует то, что различные члены одного изоспинового мультиплета, например, p и n, имеют разные электрические заряды и немного отличаются по массе.

Четность

Если принять, что симметрия относительно преобразования x → −x действительноP имеет место, то должен существовать уни-

тарный оператор , под действием которого как ин-, так и аутсостояния преобразуются как прямые произведения одночастичных состояний:

ãäå ηn − внутренняя четность частиц сорта n, а P меняет знак у пространственных компонент pμ. (Это правило верно для массивных

частиц; модификация для безмассовых частиц очевидна.) Условие сохранения четности для S-матрицы принимает вид

Как и в случае внутренних симметрий, оператор P, удовлетP - воряющий (3.3.41), действительно существует, если оператор 0,

который, по определению, точно так же действует на состояния

свободных частиц, коммутирует с V и H0.

Ôàçû ηn могут быть найдены либо из динамических моделей,

либо из эксперимента, но при этом их невозможно однозначноP определить, так как всегда можно переопределить оператор , скомбинировав его с любым сохраняющимсяP оператором внутренней симметрии. Например, если сохраняется, то это же верно и для оператора

P′ ≡ P exp(iαB + iβL + iγQ) ,

ãäå B, L è Q − барионное число, лептонное число и электрический заряд, соответственно,P Pα, β, γ − произвольные действительные фазы; таким образом и , и ′ можно считать операторами четности. Ней-

трон, протон и электрон обладают разными комбинациями значе- ний B, L и Q, так что подходящим выбором фаз α, β è γ можно

определить внутренние четности этих трех частиц равными +1. Однако, как только это сделано, внутренние четности других частиц, например, заряженного пиона (который может быть испущен в переходе n → p + π−) уже не могут быть произвольными. Кроме того, внутренняя четность любой частицы типа нейтрального пиона π0,

не характеризующейся никакими сохраняющимися квантовыми числами, всегда имеет смысл.

Предыдущие замечания позволяют понять, почему внутренние четности должны всегда иметь значенияP ±1. Легко видеть, что

оператор пространственнойP инверсии удовлетворяет закону группового умножения 2 = 1; однако сохраняющийся оператор четности может не совпадать с ним, а отличаться некоторым фазовымP преобразованиемP . В любом случае, выполнено или нет условие 2 = 1, оператор 2 ведет себя как оператор преобразования внутренней симметрии:

P2Ψp±1σ1n1 ;p2σ2n2 ;... = η2n1 η2n2 . . . Ψp±1σ1n1 ;p2σ2n2 ;... .

Если эта внутренняя симметрия есть часть непрерывной группы симметрии фазовых преобразований, подобных группе умножения на фазу exp(iαB + iβL + iγQ) с произвольными значениями α, β è γ, то обратное преобразование — квадратныйP кореньP IP — òîæå

должно входитьP в эту группу, причем IP2 12 = 1, [IP, ] = 0. (Например, если 2 = exp(iαB + ...), òî IP = exp(− iαB + ...).) Теперь можно

определить новый оператор четности P′ ≡ PIP, для которогоP P′2 = 1.

Этот оператор сохраняется не в меньшей степени, чем , поэтому нет никаких причин, по которым его нельзя назвать настоящим оператором четности. В этом случае внутренние четности могут иметь только значения ±1.

Единственный тип теорий, в которых не всегда возможно определить четность таким образом, чтобы все внутренние четности имели значения ±1, это тот, в котором существует некоторая дис-

кретная внутренняя симметрия, не являющаяся составной частью какой-то непрерывной группы симметрии фазовых преобразований 10. Например, как следствие закона сохранения углового момента, полное число F всех частиц с полуцелым спином может изменяться только на четное число, так что сохраняется оператор внутренней симметрии (−1)F. У всех известных частиц полуцелого

спина сумма B + L барионного и лептонного чисел принимает не- четные значения, поэтому, насколько мы знаем, (−1)F = (−1)B + L. Если это верно, то (−1)F есть часть непрерывной группы симметрии, состоящей из операторов exp(iα(B + L)) с произвольным действительным α, причем оператор обратногоP квадратногоP корня есть exp(−iπ(B + L)/2). В этом случае, если 2 = (−1)F, то можно переопределить так, чтобы все внутренние четности равнялись ±1. Îä-

нако, если когда-нибудь будут открыты частицы полуцелого спина с четным значением B + L (например,1 так называемые майорановские нейтрино, уPкоторых j = и B + L = 0), то можно будет построить оператор 2 = (−1)F, не имея при этом возможно-

сти переопределить сам оператор четности так, чтобы его собственныеP значения равнялись только ±1. Конечно, в этом случае

4 = 1, так что все частицы имели бы внутренние четности либо

±1, ëèáî ±i (как у майорановских нейтрино).

Из формулы (3.3.42) следует, что если произведение внутренних четностей в конечном состоянии равно произведению внутренних четностей в начальном состоянии или этому произведению, взятому со знаком «минус», то S−матрица должна быть соответственно

четной или нечетной по отношению к замене знаков у всех 3-им- пульсов. Например, в 1951 году наблюдалось11, что пион может поглощаться дейтроном из основного состояния π−d атома с l = 0 в реакции π− + d → n + n. (В разделе 3.7 мы покажем, что квантовое

число l орбитального углового момента можно использовать в релятивистской физике так же, как и в нерелятивистской квантовой