Файл: Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 1 (2001).pdf

186 Глава 3. Теория рассеяния

Таким образом, можно опустить дельта-функцию и дифференциал d|p′1| в (3.4.23), разделив на (3.4.27):

èпонимая при этом, что k′, E′1 è E′2 везде далее задаются формулами (3.4.24)−(3.4.26). В частности, дифференциальная вероятность

(3.4.13) распада одночастичного состояния с нулевым импульсом

èэнергией Е на две частицы равна

а дифференциальное сечение двухчастичного рассеяния 12 → 1′2′

дается формулой (3.4.15) в виде

ãäå k ≡ |p1| = |p2|.

Рассмотренный случай Nβ = 2 особенно прост, но есть и один красивый результат для Nβ = 3, который стоит упомянуть. Формула (3.4.21) при Nβ = 3 принимает вид

ãäå dΩ3 − дифференциал телесного угла для p′3, à θ23 è ϕ23 − полярный и азимутальный углы p′2 относительно направления p′3. Ориентация плоскости, в которой лежат векторы p′2 è p′3, определяется углом ϕ23 и направлением p′3, а остающийся угол θ23 фиксируется законом

сохранения энергии:

так что можно взять интеграл по cos θ23, просто опустив дельта−

функцию и разделив на эту производную:

Заменив импульсы на энергии, получим окончательно

Вспомним теперь, что величина (3.4.16). полученная суммированием |Mβα|2 по спинам и умножением на произведение энергий,

является скалярной функцией 4-импульсов. Если приближенно заменить этот скаляр константой, то из (3.4.31) следует, что для фиксированного начального состояния распределение событий на плоскости Е′2, Å′3 однородно. Всякое отклонение реально наблюдаемого

распределения событий от однородного — важное указание на динамику процесса распада, включая возможные центробежные барьеры или резонансные промежуточные состояния. Картинка этой

плоскости с нанесенными на ней точками экспериментальных событий носит название диаграммы Далица 19. Именно Далиц впервые использовал ее в 1953 году для анализа нелептонного распада

K+ → π+ + π+ + π–..

3.5. Теория возмущений

Исторически наиболее полезной техникой для вычисления элементов S−матрицы оказалась теория возмущений, т. е. разложение

по степеням взаимодействия V в гамильтониане Н = Н0 + V. Уравнениями (3.2.7) и (3.1.18) S−матрица задается в виде:

Sβα = δ(β − α) − 2iπδ(Eβ − Eα )Tβα+ ,

Tβα+ = (Φβ , VΨα+ ),

ãäå Ψα+ удовлетворяет уравнению Липпмана−Швингера (3.1.17):

Подействовав на это уравнение оператором V и взяв скалярное произведение с Φβ, получим интегральное уравнение для T+:

Ряд теории возмущений для Tβα+ получается из (3.5.1) с помощью

итераций:

Метод расчета, основанный на формуле (3.5.3) и преобладавший при вычислениях S-матрицы в 1930-х годах, называется сей- час старой теорией возмущений. Очевидным недостатком этого метода является то, что энергетические знаменатели в (3.5.3) маскируют лоренц-инвариантность S-матрицы. Все же метод иногда применяется в тех случаях, когда необходимо выяснить, каким образом различные промежуточные состояния порождают сингулярности S-матрицы. В большей части этой книги мы будем опираться на видоизмененную версию формулы (3.5.3), известную как

зависящая от времени теория возмущений и обладающую тем преимуществом, что лоренц-инвариантность становится более очевидной, хотя несколько затемняется вклад отдельных промежуточных состояний.

Простейший способ вывода хронологически упорядоченного разложения по теории возмущений заключается в использовании формулы (3.2.5), согласно которой оператор S равен

S = U(∞,−∞),

U(τ, τ0 ) ≡ exp(iH0τ) exp(−iH(τ − τ0 )) exp(−iH0τ0 ).

Дифференцируя это выражение по τ, получаем дифференциальное

(Говорят, что операторы с такой зависимостью от времени определены в картине взаимодействия, чтобы отличить их временную зависимость от зависимости OH(t) = exp(iHt)OHexp(-iHt), предписываемой гейзенберговской картиной в квантовой механике.) Как уравнение (3.5.4), так и начальное условие U(τ0, τ0) = 1 очевидно удов-

летворяются решением интегрального уравнения

Итерируя это интегральное уравнение, получаем разложение U(τ,τ0) по степеням V: